ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Известный пример векторного пространства дает трехмерное евклидово пространство, фигурирующее во многих физических задачах. Его обобщением является n-мерное векторное пространство над полем вещественных чисел. Понятие n-мерного пространства тесно связано с идеями линейной алгебры и теории матриц и играет важную роль во многих приложениях.

Для произвольного поля можно дать абстрактное определение векторных пространств.

Определение 1.4.1.Пусть F — некоторое поле. Назовем эле­менты из F скалярами. Множество V называется векторным пространством, и его элементы называются векторами, если для пар элементов из V определена такая операция векторного сложения (обозначается плюсом), а для элементов из V и элементов из F определена такая операция умножения на скаляры (обозначается приписыванием), что результат выполнения операции дает элемент из V, причем имеют место следующие аксиомы:

1) V является абелевой группой относительно векторного сложения;

2) закон дистрибутивности: для каждой пары векторов v₁, v₂ и скаляра с выполняется равенство

C ( v₁ + v₂ ) =c v₁ +c v₂ ,

3) закон дистрибутивности: для произвольного вектора v и произвольных скаляров c₁ и с₂ выполняются равенства i v= vи

( c₁ + c₂ ) v=c₁v +c₂v ;-

4) закон- ассоциативности: для произвольного вектора vи произвольных скаляров с₁ и с₂ выполняется равенство

( c₁ c₂ ) v = c1 ( c₂ v ) .

Нулевой элемент из V называется началом координат простран­ства V и обозначается через 0.

Отметим, что мы использовали символ + двумя различными способами: для векторного сложения и для сложения в поле. Отметим также, что мы использовали символ 0 для обозначения нулевого элемента поля и символ 0 для обозначения начала коор­динат векторного пространства.

^_В качестве менее известного примера векторного пространства V мoжно указать множество многочленов от x с коэффициентами из GF(q). Векторами этого пространства служат многочлены. Векторное сложение совпадает со сложением многочленов. А умножение на скаляр — с умножением многочленов на элементы поля,

В векторном пространстве V сумма вида

u= α₁v₁ + α₂ v₂ + … + α_k v_k,

где а₁ — скаляры, называется линейной комбинацией векторов v₁, v ₂, … , v_k. Множество векторов v₁, v ₂, … , v_k называется линейно зависимым, если существует множество не всех равных нулю скаляров (α_1, ..., α_k), такое, что

0= α₁v₁ + α₂ v₂ + … + α_k v_k,

Множество векторов, которое не является линейно зависимым, называется линейно независимым. Никакой вектор из множества линейно независимых векторов не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов этого множества. Отметим, что нулевой вектор 0 не может принадлежать линейно независимому множеству; каждое множество, содержащее 0, является линейно зависимым.

О множестве векторов говорят, что оно порождает векторное пространство, если каждый вектор пространства равен хотя бы одной линейной комбинации векторов из этого множества. Век­торное пространство, порождаемое конечным множеством векторов, называется конечномерным векторным пространством. Мы в первую очередь интересуемся конечномерными векторными пространствами.

Теорема 1.4.2.Если векторное пространство V порождено конечным множеством из k векторов А = ( v₁, v₂, …, v_k ) и V содер­жит т линейно независимых векторов В =(u₁, u₂, …, u_m), то k≥m.

Доказательство.Мы опишем правило построения последовательности множеств А₀, A₁, A₂, ..., A_m, таких, что каждое из множеств порождает V, каждое из множеств содержит k элементов, выбираемых из А и В, и множество А_r содержит u₁, u₂, …, u_r. Таким образом, среди k элементов множества А_m будут содержаться u₁, u₂, …u_m, и, следовательно, k ≥ m.

Так как никакая линейная комбинация векторов из В с ненулевыми коэффициентами не равна нулю, то никакой элемент из В не может быть представлен в виде линейной комбинации других элементов из В. Если множество A_r-1 не содержит u_r и порождает V, то должен быть способ представления u_r в виде линейной комбинации элементов из А_r-1, включающий хотя бы один вектор из А (скажем, v_i), не принадлежащий множеству В. Уравнение, задающее эту линейную комбинацию, можно разрешить относительно v_j, представив v_j; в виде линейной комбинации из u_r и других элементов из А_r-1.

Это построение осуществляется следующим образом. Пусть A₀ = А. Если A_r-1 содержит u_r, то полагаем А_r = A_r-1; в противном случае u_r не принадлежит множеству А_r, но может быть представлен в виде линейной комбинации элементов из A_г-1, содержащей некоторый элемент v_i из А, не принадлежащий В. Множество А_r образуем из множества A_г-1 заменой v_i на u_r.

Произвольный вектор v равен некоторой линейной комбинации элементов из А_r-1 и, следовательно, также элементов из А_r, если исключить вектор v_i, используя линейную комбинацию, связывающую v_i и u_r с другими векторами из А_r-1. Следовательно, множество А_r порождает V, и из A_г-1 мы построили А_r с желаемыми свойствами. Таким образом, множество А_m может быть построено, и доказательство закончено.

 

Теорема 1.4.3.Два множества линейно независимых векторов, порождающие одно и то же векторное пространство, содержат одинаковое количество векторов.

Доказательство.Если одно множество содержит т векторов, а другое k векторов, то по теореме 1.4.2 т≥k и k ≥ т, и, следовательно, т = k.

 

Число линейно независимых векторов в множестве, порождающем конечномерное векторное пространство V, называется размерностью пространства V. Множество и линейно независимых векторов, порождающее k-мерное векторное пространство, называется базисом, этого пространства. Согласно теореме 1.4.2, в k-мерном векторном пространстве каждое множество, содержащее более k векторов, является линейно зависимым.

Теорема 1.4.4.В k-мерном. векторном, пространстве V любые k линейно независимых векторов образуют базис пространства V.

Доказательство.Пусть {v₁, v₂, …, v_k} — произвольное множество k линейно независимых векторов из V. Если оно не порождает V, то в V найдется такой вектор v, что он не равен никакой линейной комбинации векторов v₁, v₂, …, v_k. Множество {v, v₁, v₂, …, v_k ) содержит k + 1 линейно независимых векторов из V, что противоречит теореме 1.4.3. Следовательно, множество (v₁, v₂, …, v_k) ,порождает V и является базисом.

Если множество линейно независимых векторов k-мерного пространства не является базисом, то оно должно содержать меньше k векторов. Дополнение такого множества векторами так, чтобы оно превратилось в базис, называется пополнением базиса.

Теорема 1.4.5.Заданное множество линейно независимых векторов в конечномерном векторном пространстве всегда может быть дополнено до множества, образующего базис.

Доказательство.Если данное множество не является базисом, то некоторый вектор пространства не является линейной комбинацией векторов данного множества. Выберем такой произвольный вектор и присоединим его к исходному множеству, увеличив объем множества на единицу. Если полученное множество все еще не является базисом, повторим процесс. Процесс обязательно оборвется, так как число линейно независимых векторов в множестве не может превосходить размерность пространства. Полученное по завершении процесса множество векторов удовлетворяет условиям теоремы.

 

Непустое подмножество векторного пространства называется векторным подпространством, если оно также является векторным пространством относительно исходных операций векторного сложения и умножения на скаляр. Относительно операции векторного сложения векторное пространство является группой, а векторное подпространство подгруппой. Чтобы установить, что непустое подмножество векторного пространства образует подпространство, достаточно проверить только замкнутость подмножества относительно векторного сложения и умножения на скаляры. Замкнутость относительно умножения на скаляры гарантирует, что нулевой вектор принадлежит подмножеству; другие необходимые свойства наследуются из исходного пространства.

Теорема 1.4.6.Множество веек линейных комбинаций множества векторов(v₁, v₂, …, v_k) произвольного векторного пространства V образует подпространство в V.

Доказательство.Каждая линейная комбинация векторов v₁, v₂, …, v_k является вектором из V, и поэтому множество W всех линейных комбинаций образует подмножество пространства V. Оно не пусто, так как 0 принадлежит W. Мы должны показать, что W является подпространством. Если w = β₁v₁+β₂v_{2 +} …+β_kv_k и u = c₁v₁+c₂v_{2 +} …+c_kv_k — два произвольных элемента подмножества W, то w + u = (β₁ + c₁)v₁+ (β₂ +c₂ )v_{2 +} …+ (β_k+c_k)v_k также принадлежит W. Далее, для произвольного вектора w скалярное кратное вектора α w =α β₁v₁+ αβ₂v_{2 +} …+αβ_kv_k также принадлежит W. Так как W замкнуто относительно векторного сложения и умножения на скаляр, то оно является векторным подпространством.

 

Теорема 1.4.7.Если размерность векторного подпространства W конечномерного векторного пространства V равна размерности V, то W = V.

Доказательство.Обозначим размерность обоих пространств через k. Выберем в W базис. Он образует множество k линейно независимых векторов пространства V, поэтому является базисом в V. Следовательно, каждый вектор из W принадлежит также V.

 

Для заданного поля F величина (α₁, α₂, …, α_n ), составленная из элементов поля, называется n-последовательностью элементов поля. Относительно операций покомпонентного сложения и покомпонентного умножения на скаляры множество n-последовательностей элементов поля F образует векторное пространство, которое обозначается через F^n.. С помощью выбора базиса v₁, ..., v_n любая конечномерное векторное пространство можно превратить в пространство n-последовательностей, представляя каждый вектор v =α₁v₁,...,α_nv_n n-последовательностью его коэффициентов (а₁ ..., а_n). Следовательно, мы можем ограничиться рассмотрением только векторных пространств n-последовательностей.,

Скалярное произведение двух n-последовательностей из Fⁿ;

u = (а₁ ..., а_n) и v= (β₁ ..., β_n)

равно скаляру, определяемому так:

u v = (а₁ ..., а_n ) - (β₁ ..., β_n)= а₁ β₁+ ,…, а_n β_n.

Можно сразу же проверить, что u v = v u, (сu) v = с (u v ) и w(u+v)=(w v) +(w v). Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то они называются ортогональными. Ненулевые векторы над GF(q) могут быть ортогональны сами себе. Вектор, ортогональный к каждому элементу множества, называется ортогональным к множеству.

Теорема 1.4.8.Пусть V — векторное пространств n-последовательностей над некоторым полем F, и пусть W — некоторое его подпространство. Множество векторов, ортогональных к W, также образует подпространство.

Доказательство.Обозначим через U множество всех векто­ров, ортогональных к W. Так как 0 принадлежит U, то U не пусто. Пусть w— произвольный вектор из W, а u₁ и u₂ — два произвольных вектора из U. Тогда w u₁= w u₂=0 и w u₁+ w u₂= w ( u₁+ u₂) =0, так что u₁+ u₂ принадлежит U. Также w=(сu₁)==с(w u₁) = 0, и, следовательно, cu₁ принадлежит U. Таким образом, U является подпространством.

Множество векторов, ортогональных к W, называется ортогональным дополнением W и обозначается через W^┴. В случае конечномерных векторных пространств над полем вещественных чисел пересечение W и W^┴ содержит только нулевой вектор, но над полем GF(q) подпространство W^┴ может иметь нетривиальное пересечение с W или может даже принадлежать W, либо содержать W. В действительности можно даже построить примеры подпространств, которые сами являются своими ортогональными дополнениями. Например, в GF²(2) подпространство {00, 11} совпадает со своим ортогональным дополнением.

Теорема 1.4.9.Вектор, ортогональный к каждому вектору множества, порождающего W принадлежит ортогональному дополнению пространства W.

Доказательство.Предположим, что множество {w₁, w₂, …,w_n ) порождает W. Вектор w из W можно записать в виде w=с₁ w₁ + … + с_п w_п. Тогда