рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Теорема 12.56.3.

Теорема 12.56.3. - Домашнее Задание, раздел Домостроительство, ЛЕКЦИИ И ДОМАШНИИ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ТОКБДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ВВЕДЕНИЕ В ДИСКРЕТНУЮ АЛГЕБРУ 10) Если Все Элементы Некоторой Строки Квадратной Матрицы Равны Нулю, То О...

10) Если все элементы некоторой строки квадратной матрицы равны нулю, то определитель этой матрицы равен нулю.,

2П) Определитель матрицы равен определителю транспони­рованной матрицы.

 

3(ш) Если две строки матрицы поменять местами, то ее опре­делитель изменит знак..

 

4(iv) Если две строки матрицы равны, то ее определитель ра­вен нулю.

 

5(v) Если все элементы одной строки матрицы умножить на элемент поля с, то определитель новой матрицы будет равен определителю исходной матрицы, умноженной на с.

.

(vi6) Если матрицы А и В отличаются только 1-й строкой, то сумма их определителей равна определителю матрицы С, I1-я строка которой равна сумме 1-х строк матриц А и В, а осталь­ные строки равны соответствующим строкам матрицы А или В.

 

(vii7) Если к элементам некоторой строки матрицы kЬ раз прибавить соответствующие элементы некоторой другой ее строки, то определитель матрицы не изменится. Доказательство: исполь­зовать свойства (4iv), (v5) и (vi6).

 

(viii8) Определитель матрицы отличен от нуля тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно независимы.

Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения. Замечание: в общем случае утверждение (iv) не может быть доказано с помощью перестановки двух строк и применения свойства (111). Почему? П

Если в квадратной матрице удалить строку и столбец, содержащие элемент аij, то определитель оставшейся квадратной таблицы размера п — 1 называется минором элемента аij и обозначается через Мij. Алгебраическое дополнение, обозначаемое здесь через Сij, определяется равенством

Cij = (-1)n Mij

Из способа задания определителя матрицы следует, что алгебраическое дополнение элемента аij является коэффициентом при аij в разложении определителя:

det ( A) = nk=1 аik Cik

Эго известная формула Лапласа для разложения определителей. Она дает выражение определителя (п x n)-матрицы через определители (п — 1) x (п — 1)-матриц. Формула разложения Лапласа лежит в основе рекуррентного способа вычисления определителей.

Если аik заменить на аjk, то получится сумма nk=1 аjk Cik, равная определителю новой матрицы, полученной из старой заменой элементов i-й строки элементами j-й строки; этот} определитель равен нулю, если j ≠ i. Таким образом,

det ( A), i = j

nk=1 аjk Cik = {

0, i ≠ j

Поэтому если det ( A) ≠ 0, то матрица А имеет обратную, равную

A-1 = Cij /det ( A)

Если det ( A)= 0, то обратной матрицы не существует.

Строки (п x n)-матрицы А над GF ( q) можно рассматривать как множество n-мерных векторов над GF(q). Пространство строк матрицы А определяется как множество всех линейных комбинаций векторов-строк матрицы А. Размерность пространства строк называется рангом матрицы по строкам. Аналогично столбцы матрицы А можно рассматривать как множество n-мерных векторов над GF ( q ). Пространство столбцов матрицы А определяется как множество всех линейных комбинаций векторов-столбцов матрицы А, а размерность пространства столбцов называется рангом матрицы по столбцам. Множество всех векторов v, таких, что A vtт = 0, называется нулевым пространством матрицы А. Ясно, что нулевое пространство является подпространством в GFп (q). В частности, нулевое пространство является ортогональным дополнением пространства строк матрицы А, так как нулевое пространство можно задать как множество всех векторов, ортогональных ко всем векторам пространства строк.

Элементарными операциями над строками матрицы называются следующие действия:

1) перестановка двух произвольных строк;

2) умножение произвольной строки на ненулевой элемент поля;

3) замена произвольной строки на сумму ее самой и некоторого кратного любой другой строки.

Каждая элементарная операция над строками обратима, и обратная операция имеет такой же вид. Каждая элементарная операция над строками (n x n)-матрицы А может быть выполнена путем левого умножения А на соответствующим образом подобранную так называемую элементарную (п x п)-матрицу F.

Элементарные матрицы определяются как одна из следующих модификаций единичной матрицы:

 

                 
  *                
    *.              
                 
        *          
          *        
      α          
              *    
                *  
                 
                 
  *                
    *              
      *            
        *          
          α        
            *      
              *    
                *  
                 
                 
  *                
    *              
               
        *          
          *        
               
              *    
                *  
                 

 

Элементарные операции над строками используются для при­ведения матрицы к стандартному виду, называемому каноническим ступенчатым видом и определяемому следующим образом:

1) ведущий ненулевой элемент каждой ненулевой строки ра­вен единице;

2) все остальные элементы каждого столбца, содержащего такой ведущий элемент, равны нулю;

3) ведущий элемент любой строки находится правее любого ведущего элемента любой расположенной выше строки,

4) нулевые строки расположены ниже всех ненулевых строк.

 

Примером матрицы, приведенной к каноническому ступенча­тому виду, является

 

1 1 0 1 3 0

A= 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 .

 

 


1 10130

001 100

Заметим, что нулевая строка расположена снизу и что если уда­лить последнюю строку, то все столбцы единичной (3 хX 3)-матрицы появятся среди столбцов матрицы, но в разбросанном виде. В об­щем случае если имеется k& ненулевых строк и по меньшей мере такое же количество столбцов, то матрица в каноническом сту­пенчатом виде всегда будет содержать все столбцы единичной матрицы размера k&. Частным случаем канонической ступенчатой формы матрицы является матрица вида.

A = [ I | P ]

где I — единичная матрица.

По каноническому ступенчатому виду матрицы А размера ( k х n ), где n ≥ k, можно построить матрицу Н = [ -PT | I] размера [( n-k ) x n ] такую, что пространство строк матрицы Н ортогонально пространству строк матрицы А, т.к.

А Нт = 0,где0 –нулевая матрица размера [k x (n-k)], ибо

A HT = [ -Р ] + [ Р] = [ 0 ]

С помощью элементарных операций над строками каждая матрица, содержащая по меньшей мере столько же столбцов, сколько и строк, может быть приведена к каноническому ступенчатому виду, но не к указанному выше его частному случаю. Для построения в этом случае матрицы Н, пространство строк которой ортогонально пространству строк матрицы А, можно предложить следующий подход; а) переставляя столбцы матрицы А, получить матрицу А1,соответствующую частному случаю канонического ступенчатого вида; б) по матрице А1 построить матрицу Н1, в) делая обратную перестановку столбцов в матрицеН1, получить матрицы Н, пространство строк которой ортогонально пространству строк матрицы А

Теорема 1.5.4.Если матрицы А и А' получаются одна из другой с помощью элементарных операций, то пространства строк этих матриц совпадают.

Доказательство.Каждая строка из А' является некоторой линейной комбинацией строк матрицы А. Следовательно, каждая линейная комбинация строк матрицы А' также является линейной комбинацией строк матрицы А, и, таким образом, пространство строк матрицы А содержит пространство строк матрицы А'. Но матрица А получается из матрицы А' с помощью обратных элементарных операций, и, следовательно, пространство строк матрицы А' содержится в пространстве строк матрицы А. Таким образом, А и А' имеют одно и то же пространство строк.

Теорема 1.5.5.Если матрицы А и А' связаны между собой последовательностью элементарных операций над строками, то любое множество линейно независимых столбцов в А линейно независимо и в А'.

Доказательство.Так как для элементарных операций над строками первого и второго вида теорема очевидна, то достаточно доказать ее только для элементарной операции третьего вида. Итак, предположим, что А' получается из А прибавлением кратного строки а к строке β. В любой линейно зависимой комбинации столбцов матрицы А' элементы строки а. должны давать нуль и, следовательно, не оказывать никакого воздействия на строку β. Таким образом, рассматриваемое множество столбцов в матрице А также является линейно зависимым.

Теорема 1.5.6.(n x n)-матрица А, k строк которой линейно независимы, содержит k линейно независимых столбцов.

Доказательство.Приведем А к каноническому ступенчатому виду А'. Так как строки линейно независимы, то ни одна из них не является нулевой. Следовательно, для каждой строки существует столбец, элемент которого в этой строке равен единице, а в каждой другой строке равен нулю. Множество из k таких столбцов матрицы А' линейно независимо, и, следовательно, в силу теоремы 1.5.5 это же множество столбцов линейно независимо в А.

Теорема 1.5.7.Ранг матрицы А по строкам равен ее рангу по столбцам и равен размеру наибольшей квадратной подматрицы, определитель которой отличен от нуля. (Поэтому данная величина называется просто рангом матрицы.)

Доказательство.Достаточно показать, что ранг матрицы А по строкам равен размеру наибольшей квадратной подматрицы с ненулевым определителем. То же самое доказательство применительно к транспонированной матрице дает доказательство утверждения для ранга матрицы по столбцам, и, таким образом, доказывается, что ранг по строкам равен рангу по столбцам.

Подматрица матрицы А получается выбрасыванием из А некоторого числа строк и столбцов. Пусть М — невырожденная квадратная подматрица матрицы А наибольшего размера. Согласно теореме 1.5.3 (8), строки матрицы М линейно независимы, и, следовательно, их продолжения до строк матрицы А также должны быть линейно независимыми. Следовательно, ранг матрицы А по строкам не меньше размера матрицы М. С другой стороны, выберем произвольное множество из k линейно независимых строк матрицы А. Согласно теореме 1.5.7,матрица, образованная такими строками, имеет k линейно независимых столбцов. Таким образом, определитель матрицы, составленной из расположенных на пересечении этих k столбцов и этих k строк элементов, будет отличен от нуля. Следовательно, размер наибольшей невырожденной подматрицы не меньше ранга матрицы А по строкам. Это завершает доказательство.

Пусть А — квадратная (n x n)-матрица с ненулевым определителем. Тогда, согласно теоремам 1.5.4 и 1.5.7, ее каноническая ступенчатая форма является ( n x n )-матрицей, все строки которой отличны от нулевой, и, следовательно, представляет собой единичную матрицу. Так как А может быть получена из I обращением последовательности элементарных операций над строками, то А можно записать через элементарные матрицы:

A = F1 F2 …. Fn

Теорема 1.5.8.Если в кольце (п x п)-матриц над полем GF(q) С = АВ, то

det ( С) = det:( А ) det( В ).

Доказательство:

Шаг 1. Сначала покажем, что если det(А) или det(В) равны нулю, то и det(С) равен нулю. Предположим, что det(В) равен нулю; тогда по теореме 1.5.3 (8) строки матрицы В линейно зависимы. Но строки матрицы С являются линейными комбинациями строк матрицы В. Следовательно, строки матрицы С линейно зависимы и det(С) равен нулю. Аналогично исследуется случай, когда det(А) равен нулю.

Шаг 2. Предположим, что det(А) не равен нулю. Тогда матрицу А можно записать в виде произведения элементарных матриц:

A = F1 F2 …. Fn.

Каждая из матриц F соответствует элементарной операции над строками матрицы А, и, следовательно, согласно пп. (3), (5) и (vi7) теоремы 1.5.3, имеем

det(АВ) = det [(F1 F2 …. Fn) В] =det [F1 ( F2 …. Fn В)] =

= det( F1) det( F2 …. FnB ) =det(F1) det(F2) … det (Fn) det (B)..

При В = I это дает

det (А) = det(F1) det(F2) … det (Fn)

Подставляя последнее равенство в формулу для случая произвольной В, получаем det (АВ) = det (А)-det (В), что и требовалось доказать.

Одно из следствий этой теоремы состоит в том, что если С = АВ, то матрица С обратима тогда и только тогда, когда обе матрицы А и В обратимы, так как квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.

Заканчивая данный параграф, завершим работу, оставшуюся от предыдущего параграфа.

Теорема 1.5.9. Если размерность подпространства W векторного пространства всех п- последовательностей равна k, то размерность его ортогонального дополнения W равна п — k.

Доказательство. Пусть {g1, g2, … gk) —базис подпространства W; определим матрицу G равенством

g1

g2

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЛЕКЦИИ И ДОМАШНИИ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ТОКБДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ВВЕДЕНИЕ В ДИСКРЕТНУЮ АЛГЕБРУ

ЛЕКЦИИ И ДОМАШНИИ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ТОКБДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА... ДЛЯ СТУДЕНТОВ ДНЕВНОГО ОТДЕЛЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ КИРИШКИЙ ФИЛИАЛ... ВВЕДЕНИЕ В ДИСКРЕТНУЮ АЛГЕБРУ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема 12.56.3.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Доказательство.
(1). аО = а (0 + 0) = аО + аО. Вычитая из обеих частей равенства аО, получаем 0 = аО. Вторая часть утверждения (1) доказывается аналогично, (2). О = аО = а (b — b) = аb

Теорема 1.2.4.
(1) Множество единиц кольца образует группу относительно умножения в кольце (2) Если с = аb и с — единица, то а имеет правый обратный, а b — левый о

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Известный пример векторного пространства дает трехмерное евклидово пространство, фигурирующее во многих физических задачах. Его обобщением является n-мерное векторное пространство над полем веществ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
  Широко используемые разделы прикладной математики — линейная алгебра, в частности теория матриц, — обычно изучаются только для поля вещественных чисел и поля комплексных чисел, одна

КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
| Множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) образуют кольцо относительно обычных операций сложе­ния и умножения. Это кольцо принято обозначать через Z. В данном пара

Теорема 2.1.2.
1. Rd(a+b)=Rd{ Rd (a) + Rd (b) } 2 . Rd(a*b)=Rd{ Rd (a) *Rd (b

КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ, ОСНОВАННЫЕ НА КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Имеется очень важная конструкция, позволяющая по заданному кольцу построить новое кольцо, называемое кольцом отношений. В случае произвольного кольца для построения кольца отноше­ний строятс

КИТАЙСКИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ОСТАТКАХ
Когда можно однозначно определить целое число, если заданы только его вычеты по модулям нескольких целых чисел? Ответ на этот вопрос был известен еще в древнем Китае. Китайская теорема об остатк

КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ
Многочленом над полем GF(q) называется математическое выра­жение f(x)= fn-1 xn-1+fn-2 xn

Теорема 2.3.4.
(1) Rd(х)[a(х)+b(x)]= Rd(х)[a(х)]+ Rd(х)[b(х)] , (2 ) Rd(х)

КИТАЙСКИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ОСТАТКАХ
Теорема 2.3.8. Для заданного множества попарно взаимно простых многочленов т1 (х), m2(х), ..., тk (х) и множества многочленов с1 (х),

КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ, ОСНОВАННЫЕ НА КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
Конечные поля можно построить из колец многочленов таким же образом, каким были построены поля из кольца целых чисел. Пусть имеется кольцо многочленов F [х] над полем F. Так же, как б

Степень Простые многочлены
2 x2 +x +1 3 x3 +x +1 4 x4 +x +1 5 x5 +x2 +1 6 x6 +x +1 7 x7 +x3

ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
В предыдущем параграфе было построено поле GF(4). На рис. 2.2 видно, , за исключением нуля, все элементы поля могут быть представлены в виде степени элемента х. Опред

СТРУКТУРА КОНЕЧНОГО ПОЛЯ
Ранее в данной главе мы изучали, как строить поле. Предполагая, что можно найти простой многочлен степени п над полем άGF (q), мы научились строить конечное поле с qп

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги