рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ, ОСНОВАННЫЕ НА КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ, ОСНОВАННЫЕ НА КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ - Домашнее Задание, раздел Домостроительство, Лекции и домашнии задания по курсу токбдискретная математика введение в дискретную алгебру Имеется Очень Важная Конструкция, Позволяющая По Заданному Кольцу Построить Н...

Имеется очень важная конструкция, позволяющая по заданному кольцу построить новое кольцо, называемое кольцом отношений. В случае произвольного кольца для построения кольца отноше­ний строятся смежные классы, однако в случае кольца целых чи­сел кольцо отношений строится просто. В некоторых случаях это построение приводит к полям (в случае, когда кольцо является об­ластью целостности).

Определение 2.2.1.Пусть qположительное целое число. Кольцом отношений, именуемым также кольцом целых чисел по модулю q и обозначаемым через Z /(q), называется множество {0, 1, 2, … , q-1} с операциями сложения и умножения, опреде­ляемыми равенствами а + b = R.q+ b), а·b = Rq (аb).

Элементы, обозначенные через 0, 1, … ,q-1, принадлежат как Z, так и Z/(q). Пожалуй, лучше под элементами из Z,/(q) по­нимать не первые q элементов из Z, а некоторые другие объекты, обозначенные таким же образом. Произвольный элемент а из Z можно отобразить в Z/(q), полагая а = Rq. [а]. Два элемента а и b из Z, отображаемые в один элемент изZ(q), сравнимы по модулю q и а = b + mq для некоторого целого т..

Теорема 2.2.2.Кольцо отношений Z (q) является кольцом.

Доказательствопредоставляется читателю в качестве упраж­нения.

 

Как показывают примеры из § 1.4, арифметику полей GF (2) и GF (3) можно описать как сложение и умножение по модулю 2 и 3 соответственно, а арифметику в поле GF (4) так описать нельзя. Таким образом, в принятой нами символике GF (2) =Z/(2), GF (3) = Z/(3), GF (4)≠Z/(4). Общий результат дается следующей теоремой.

Теорема 2.2.3.Кольцо отношений Z/(q) является полем тогда и только тогда, когда q равно простому числу.

Доказательство.Предположим, что q — простое число. Для доказательства того, что кольцо является полем, надо показать, Что каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обрат-

ный. Пусть s — ненулевой элемент кольца; тогда 1 ≤ s ≤ q-1. Так как q просто, то НОД (.s, q) = 1, и в силу следствия 1.1.4

1 = аq+bs

для некоторых а и b. Таким образом, -;
1 =Rq(1)= Rq(аq+bs)= Rq{Rq(аq) + Rq(bs)}= Rq(bs)= Rq{Rq(b) Rq(s)}=

=Rq{Rq(b) ,s}

Следовательно, элемент Rq(b) является мультипликативным обратным элементуsотносительно операции умножения по модулю q.Теперь допустим, что q — составное число. Тогда q=rs.. Если данное кольцо представляет собой поле, то r имеет обратный r-1 , и поэтому s= Rq(s)= Rq(r-1rs)= Rq(r-1q)=0

Но sО, так что мы получили противоречие. Следовательно, рассматриваемое кольцо не является полем.

В случае когда кольцо отношений Z/(q) образует поле, оно также обозначается через GF (q), чтобы подчеркнуть тот факт, что оно является полем.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Лекции и домашнии задания по курсу токбдискретная математика введение в дискретную алгебру

Лекции и домашнии задания по курсу токбдискретная математика.. для студентов дневного отделения специальности киришкий филиал.. введение в дискретную алгебру..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ, ОСНОВАННЫЕ НА КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Доказательство.
(1). аО = а (0 + 0) = аО + аО. Вычитая из обеих частей равенства аО, получаем 0 = аО. Вторая часть утверждения (1) доказывается аналогично, (2). О = аО = а (b — b) = аb

Теорема 1.2.4.
(1) Множество единиц кольца образует группу относительно умножения в кольце (2) Если с = аb и с — единица, то а имеет правый обратный, а b — левый о

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Известный пример векторного пространства дает трехмерное евклидово пространство, фигурирующее во многих физических задачах. Его обобщением является n-мерное векторное пространство над полем веществ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
  Широко используемые разделы прикладной математики — линейная алгебра, в частности теория матриц, — обычно изучаются только для поля вещественных чисел и поля комплексных чисел, одна

Теорема 12.56.3.
10) Если все элементы некоторой строки квадратной матрицы равны нулю, то определитель этой матрицы равен нулю., 2П) Определитель матрицы равен определителю транспони­рованной мат

КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
| Множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) образуют кольцо относительно обычных операций сложе­ния и умножения. Это кольцо принято обозначать через Z. В данном пара

Теорема 2.1.2.
1. Rd(a+b)=Rd{ Rd (a) + Rd (b) } 2 . Rd(a*b)=Rd{ Rd (a) *Rd (b

КИТАЙСКИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ОСТАТКАХ
Когда можно однозначно определить целое число, если заданы только его вычеты по модулям нескольких целых чисел? Ответ на этот вопрос был известен еще в древнем Китае. Китайская теорема об остатк

КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ
Многочленом над полем GF(q) называется математическое выра­жение f(x)= fn-1 xn-1+fn-2 xn

Теорема 2.3.4.
(1) Rd(х)[a(х)+b(x)]= Rd(х)[a(х)]+ Rd(х)[b(х)] , (2 ) Rd(х)

КИТАЙСКИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ОСТАТКАХ
Теорема 2.3.8. Для заданного множества попарно взаимно простых многочленов т1 (х), m2(х), ..., тk (х) и множества многочленов с1 (х),

КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ, ОСНОВАННЫЕ НА КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
Конечные поля можно построить из колец многочленов таким же образом, каким были построены поля из кольца целых чисел. Пусть имеется кольцо многочленов F [х] над полем F. Так же, как б

Степень Простые многочлены
2 x2 +x +1 3 x3 +x +1 4 x4 +x +1 5 x5 +x2 +1 6 x6 +x +1 7 x7 +x3

ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
В предыдущем параграфе было построено поле GF(4). На рис. 2.2 видно, , за исключением нуля, все элементы поля могут быть представлены в виде степени элемента х. Опред

СТРУКТУРА КОНЕЧНОГО ПОЛЯ
Ранее в данной главе мы изучали, как строить поле. Предполагая, что можно найти простой многочлен степени п над полем άGF (q), мы научились строить конечное поле с qп

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги