Имеется очень важная конструкция, позволяющая по заданному кольцу построить новое кольцо, называемое кольцом отношений. В случае произвольного кольца для построения кольца отношений строятся смежные классы, однако в случае кольца целых чисел кольцо отношений строится просто. В некоторых случаях это построение приводит к полям (в случае, когда кольцо является областью целостности).
Определение 2.2.1.Пусть q — положительное целое число. Кольцом отношений, именуемым также кольцом целых чисел по модулю q и обозначаемым через Z /(q), называется множество {0, 1, 2, … , q-1} с операциями сложения и умножения, определяемыми равенствами а + b = R.q (а + b), а·b = Rq (аb).
Элементы, обозначенные через 0, 1, … ,q-1, принадлежат как Z, так и Z/(q). Пожалуй, лучше под элементами из Z,/(q) понимать не первые q элементов из Z, а некоторые другие объекты, обозначенные таким же образом. Произвольный элемент а из Z можно отобразить в Z/(q), полагая а = Rq. [а]. Два элемента а и b из Z, отображаемые в один элемент изZ(q), сравнимы по модулю q и а = b + mq для некоторого целого т..
Теорема 2.2.2.Кольцо отношений Z (q) является кольцом.
Доказательствопредоставляется читателю в качестве упражнения.
Как показывают примеры из § 1.4, арифметику полей GF (2) и GF (3) можно описать как сложение и умножение по модулю 2 и 3 соответственно, а арифметику в поле GF (4) так описать нельзя. Таким образом, в принятой нами символике GF (2) =Z/(2), GF (3) = Z/(3), GF (4)≠Z/(4). Общий результат дается следующей теоремой.
Теорема 2.2.3.Кольцо отношений Z/(q) является полем тогда и только тогда, когда q равно простому числу.
Доказательство.Предположим, что q — простое число. Для доказательства того, что кольцо является полем, надо показать, Что каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обрат-
ный. Пусть s — ненулевой элемент кольца; тогда 1 ≤ s ≤ q-1. Так как q просто, то НОД (.s, q) = 1, и в силу следствия 1.1.4
1 = аq+bs
для некоторых а и b. Таким образом, -;
1 =Rq(1)= Rq(аq+bs)= Rq{Rq(аq) + Rq(bs)}= Rq(bs)= Rq{Rq(b) Rq(s)}=
=Rq{Rq(b) ,s}
Следовательно, элемент Rq(b) является мультипликативным обратным элементуsотносительно операции умножения по модулю q.Теперь допустим, что q — составное число. Тогда q=rs.. Если данное кольцо представляет собой поле, то r имеет обратный r-1 , и поэтому s= Rq(s)= Rq(r-1rs)= Rq(r-1q)=0
Но s≠О, так что мы получили противоречие. Следовательно, рассматриваемое кольцо не является полем.
В случае когда кольцо отношений Z/(q) образует поле, оно также обозначается через GF (q), чтобы подчеркнуть тот факт, что оно является полем.