Розглянемо випадок, коли знаменник розкладається на лише неповторні дійсні множники першого степеня.

Приклад 23. .

Рішення. Підінтегральна функція є неправильний дріб, тому виділяємо цілу частину:

 

 

Таким чином,

.

Ми одержали правильний дріб, який тепер можемо розкласти на суму елементарних дробів

.

Знаходимо невизначені коефіцієнти (A, B, C), приводячи праву частину до спільного знаменника і прирівнюємо чисельники. Одержимо тотожність

.

У цьому випадку доцільно використовувати метод находження невизначених коефіцієнтів, надаючи х значення коренів і підставляючи їх у тотожність.

Таким сином, значення коефіцієнтів знайдено спрощеним способом. Знаходимо шуканий інтеграл

4.2 Розглянемо випадок, коли знаменник має тільки дійсні корені, деякі з них кратні.

Приклад 24. .

Рішення. Підінтегральний дріб правильний. Розкладаючи на суму елементарних дробів, одержимо

.

Приведемо праву частину до спільного знаменника і прирівняємо чисельники, одержимо

.

При знаходженні коефіцієнтів (А, В, С) використаємо два методи, комбінуючи метод поодиноких значень коренів та метод порівняння коефіцієнтів при однаковому степені змінної х. Тобто,

	2=А

Одержимо А=2, , . Знаходимо шуканий інтеграл:

.

 

4.3 Розглянемо випадок, коли знаменник має комплексні різні корені.

Приклад 25. .

Рішення. Підінтегральний дріб правильний. Розкладаючи на суму дробів, маємо: .

Приводячи праву частину до спільного знаменника і прирівнюючи чисельники, одержимо

,

.

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, знайдемо

Знайдемо шуканий інтеграл

.

4.4 Розглянемо випадок, коли знаменник має комплексні кратні корені.

Приклад 26. .

Рішення. Підінтегральний дріб правильний. Розкладаючи дріб на суму елементарних дробів, маємо

.

Приводячи праву частину до спільного знаменника і прирівнюючи чисельники, одержимо

.

Комбінуючи методи, знайдемо невизначені коефіцієнти:

.

	2=4А,
	,

Одержали коефіцієнти . Знайдемо шуканий інтеграл:

Інтеграл знаходиться за допомогою рекурентної формули, тобто тоді