Інтегрування тригонометричних функцій.

Інтеграли виду , де ¾ раціональна функція двох змінних, приводяться до інтегралів від раціональної функції нового аргументу t підстановкою яка називається універсальною. При цьому використовуються формули .

Універсальна тригонометрична підстановка, раціоналізуючи інтеграл часто приводить до раціональних дробів з великими степенями. Тому в багатьох випадках користуються іншими підстановками. Наведемо деякі з них:

1) раціоналізується підстановкою ;

2) раціоналізується підстановкою ;

3) раціоналізується підстановкою

4) ¾

а) якщо функція R непарна відносно , то функція раціоналізується підстановкою

б) якщо функція R непарна відносно , то функція раціоналізується підстановкою

в) якщо функція R парна відносно зразу та , то функція раціоналізується підстановкою

г) якщо функція то функція раціоналізується за допомогою універсальної тригонометричної підстановки.

5) ¾

а) якщо n ¾ ціле додатне непарне число, то підстановка

б) якщо m ¾ ціле додатне непарне число, то підстановка

в) якщо m і n ¾ цілі додатні парні числа, то застосовують формули пониження степеня:

г) якщо m і n – цілі парні числа, але хоча б одне з них від’ємне, або коли m і n – цілі непарні і від’ємні числа, то використовується підстановка

6) інтеграли виду обчислюються за допомогою тригонометричних формул перетворення добутку функції в суму:

a.

b. ;

c. .

Приклад 27. .

Рішення. Тут використовується універсальна тригонометрична підстановка.

.

Приклад 28. .

Рішення. Підінтегральна функція парна відносно sin x і cos x, тобто

,

використаємо підстановку

.

 

 

Приклад 29. .

Рішення. Підінтегральна функція непарна відносно sin x:

використаємо підстановку

=

Приклад 30.

Рішення.

Приклад 31.

Рішення. Цей інтеграл виду де є парне від’ємне число, тому використаємо підстановку

Приклад 32.

Рішення. Тут використаємо формули пониження степеня.

Приклад 33.

Рішення. Цей інтеграл можна обчислити двома способами.

Перший спосіб – застосування формули пониження степеня.

Другий спосіб – застосування рекурентної формули

тоді