Всякая электродинамическая система, вообще говоря, представляет собою совокупность проводящих цепей, по которым протекают электрические токи, т. е. механическую систему, совмещенную с системой электрокинетической. Наличие электрических токов указывает на существование в системе какого-то специфического движения, отличающегося от обычного движения материальных
частей системы. Таким образом, при изучении системы токов мы должны считаться с двоякого рода движениями и силами: во-первых, с силами чисто механическими, способными влиять на перемещения системы или ее элементов в пространстве (движения проводников), и, во-вторых, с перемещениями „электричества" и соответствующими им электродвижущими силами (явления собственно электрического тока).
При целесообразном выборе координат вторая форма уравнений Лагранжа дает возможность учесть оба рода явлений.
Характер происходящих процессов указывает, что необходимы две категории координат: геометрические и электрические.
Будем характеризовать данную систему проводящих цепей, рассматриваемую исключительно в качестве некоторой механической системы, геометрическими координатами g1, g2, g3 и т. д.
Этими координатами определяется как положение всей системы в пространстве, так и взаимное расположение ее частей.
Для характеристики электрокинетического процесса Максвелл выбрал в качестве обобщенных координат количества электричества: q1, q2, q3 и т. д., протекшие через поперечное сечение проводников, начиная от некоторого начального момента времени. Действительно, количество электричества, протекшего по данной цепи, в полной мере может охарактеризовать степень продвижения электрокннетического процесса. При этом в качестве обобщенной силы естественно принять электродвижущую силу е, которая является реальной причиной возникновения всякого электрокинетического процесса и в то же время удовлетворяет тому условию, чтобы произведение ее на приращение обобщенной координаты представляло собою работу (е•Dq).
Производные от электрических координат q по времени будут представлять собою электрические токи:
и т. д., т. е. сила электрического тока характеризует собою скорость некоторого кинетического процесса.
При указанном выборе обобщенных координат после надлежащего расположения по группам всех членов, входящих в выражение кинетической энергии Т системы проводников, несущих электрические токи, получим:
т. е. кинетическая энергия изобразится в виде суммы трех групп членов: первой, представляющей собою функцию от геометрических скоростей, второй, зависящей от электрических скоростей,
т. е. токов, и третьей, содержащей произведения геометрических и электрических скоростей.
Что касается коэффициентов А, В и С (частные значения коэффициентов K), то выше мы уже указали, что они зависят от самих обобщенных координат, но не от скоростей их.
Не трудно показать, что эти коэффициенты в данном случае содержат только геометрические координаты g1, g2, g3 и т. д. Электрические же координаты q1, q2, q3 и т. д. в эти коэффициенты не входят. В самом деле, предположим, что i1, i2 и т. д. постоянны и что все части системы неподвижны, т. е.:
i1 = q1=const, i2=q2=const и т. д. и
g'1=0; g'2=0 и т. д.
В таком случае кинетическая энергия системы будет содержать только члены с коэффициентами В, а именно:
Опыт показывает, что в этом случае кинетическая энергия системы, т. е. энергия системы токов, остается неизменною в течение сколь угодно большого промежутка времени, так как общие условия, характеризующие магнитное поле, в такой системе остаются без всякого изменения. Это возможно только тогда, когда коэффициенты B1 В2 и т. д. не зависят от изменяющихся электрических координат q1, q2, . . . qn.
Коэффициенты A1, A2 и т. д. не зависят от этих координат, так как сумма членов с этими коэффициентами представляет собою кинетическую энергию системы, рассматриваемой как совокупность материальных тел, не обладающих электрическими токами.
Что касается коэффициентов С, то надо думать, что и они не зависят от электрических координат q. Действительно, если предположить, что все токи в системе постоянны, т. е.
i1=const; i2=const и т. д.,
и вместе с тем допустить, что все части системы непрерывно совершают такого рода периодические движения, при которых геометрические координаты изменяются лишь в некоторых узких пределах, периодически повторяясь, то полная кинетическая энергия системы, как показывает опыт, претерпевает лишь некоторые периодические же изменения, не выходя за определенные пределы, между тем как электрические координаты q (количество протекшего электричества) непрерывно и беспредельно растут. Если бы они входили в коэффициенты С, то можно было бы ожидать непрерывного изменения суммарной кинетической энергии в каком-либо определенном направлении.
Таким образом, и коэффициенты С11, C12 C13 и т. д. можно считать не зависящими от электрических координат q1, q2, q3... qn.
Итак, мы нашли общее выражение для кинетической энергии электродинамической системы. Оно производит впечатление сложного только потому, что мы взяли его в самой общем виде, для случая произвольного числа независимых переменных (обобщенных координат). Если же мы возьмем простейшие случаи, то соответственно упростится и выражение для Т, Вторая форма уравнений Лагранжа чрезвычайно облегчает обследование электродинамические явлений: зная выражение для кинетической энергии, мы легко можем получить выражение для всех сил, возникающих в системе. При этой, так как силы здесь обобщенные, соответственно обобщенным координатам, то наше исследование не ограничится силами механическими. Перед нами открывается возможность всестороннего исследования электродинамической системы.
Для облегчения этого исследования интересно предварительно проанализировать общее выражение кинетической энергии электродинамической системы.