Теорема Максвелла.
Представим себе замкнутую поверхность s, внутри которой как-либо распределены электрические заряды q1,q2, q3 и т. д. Пусть ds представляет собою элемент этой поверхности (рис. 106).
Обозначим через a угол, образуемый внешнею нормалью N к этому элементу поверхности и направлением электрической силы (напряжения поля) E в той точке, где находится рассматриваемый элемент поверхности.
Если диэлектрическая постоянная среды есть e и если при этом e постоянно для всех точек среды, то по теореме Гаусса, выве-
денной в § 2 для магнитного поля и формально распространяемой также на электрическое поле, имеем:
Разделив обе части этого равенства на 4p/e и внеся постоянный множитель e/4p под знак интеграла, получим:
Выражение eE/4p должно
иметь размерность количества электричества на единицу поверхности. Максвелл положил
D=eE/4p, (30)
на основании чего получается крайне простая по форма и весьма важная по содержанию зависимость:
В этом выражении величина Dcosads есть поток электрического смещения сквозь элемент поверхности ds, a Dcosa — нормальная составляющая электрического смещения сквозь этот элемент поверхности.
Для неоднородных и анизотропных диэлектриков, у которых e не постоянно, мы не умеем доказать аналитически справедливость соотношения (31), но Максвелл ввел гипотезу, согласно которой оно справедливо для любых диэлектриков, независимо от их физических свойств. Все следствия, которые были выводимы из этого допущения, оправдывались при опытной проверке, и, таким образом, они в полной мере подтверждают справедливость высказанной Максвеллом гипотезы. До сих пор неизвестно ни одного факта, находящегося с ней в каком-либо противоречии.
Таким образом, мы будем считать справедливым в самом общем случае соотношение (31):
Понимая его в этом обобщенном смысле, мы будем называть его теоремой Максвелла. Итак, теорема Максвелла гласит: полное
электрическое смещение сквозь любую замкнутую поверхность в направлении изнутри наружу равно полному количеству электричества, находящегося внутри этой замкнутой поверхности.