Действующие коэффициенты самоиндукции и взаимной индукции.

Выше было в достаточной степени разъяснено, что коэффициент самоиндукции цепи есть функция исключительно геометрических размеров контура данной цепи. Приведенные выше примеры под­тверждают это положение. Изменением числа и расположения вит­ков (т. е. изменением геометрических координат) мы можем изменять величину коэффициента самоиндукции. Если цепь остается геометрически неизменной, то и коэффициент самоиндукции должен сохранять свою величину. Однако, опыт показывает, что цепи с постоянными коэффициентами самоиндукции (L=const) предста­вляют собою как бы частный случай. Все происходит так, как будто в общем случае коэффициент самоиндукции цепи представляет со­бой величину переменную, что видно хотя бы на примере тороида. Мы вычислили величину его коэффициента самоиндукции и полу­чили (90):

Из этой формулы видно, что при неизменных размерах тороида L будет постоянной величиной только при условии:

m=const.

Вообще же, как мы знаем, магнитная проницаемость различных материалов (железа и т. п.) есть величина далеко не постоянная. Следовательно, и L будет непостоянно при наличии сердечников из железа и тому подобных материалов.

Это обстоятельство как будто противоречит утверждению, что коэффициент самоиндукции является функцией исключительно гео­метрических координат цепи.

Однако, если внимательно подойти к вопросу, то это кажущееся противоречие исчезает. Действительно, магнитный материал можно рассматривать как совокупность элементарных магнитов, предста­вляющих собой не что иное, как некоторые комбинации внутри­атомных электрических токов. Поэтому, вводя магнитные мате­риалы (железо и т. п.) в данную простейшую электродинамическую систему, состоящую из одной цепи, мы по существу присоединяем к ней еще добавочную весьма сложную систему электрических контуров внутриатомных токов и тем самым осложняем явление самоиндукции явлением взаимной индукции с этими новыми кон­турами, как это было разъяснено в предыдущем параграфе.

Если, кроме того, принять во внимание, что ориентировка элемен­тарных электрических цепей в объеме железа не остается неиз­менной, а меняется в зависимости от силы намагничивающего тока, то мы увидим, что при наличии в поле данной электрической цепи ферромагнитных материалов, геометрические координаты системы в целом не остаются постоянными, хотя все видимые части системы

 

и не изменяют своей формы и общего расположения. Таким об­разом, действующий коэффициент самоиндукции данной цепи оказывается величиной переменной.

Совершенно аналогичным образом и в случае явлений взаимной индукции между данными двумя цепями наличие железа с внутри­атомными токами в нем осложняет основное явление. Если мы будем игнорировать эти добавочные, скрытые в массе железа токи и будем рассуждать так, как будто бы существуют только заданные основные две цепи с неизменными геометрическими координатами, то нам будет казаться, что коэффициент взаимной индукции не есть величина постоянная. И в этом случае мы можем описывать явле­ние, введя понятие о действующем коэффициенте взаимной ин­дукции, который оказывается функцией не только геометрических координат, определяющих форму и взаимное расположение данных двух цепей, ко также и свойств среды, окружающей проводники и характеризуемой переменной величиной магнитной проницаемости m.

Итак, мы в общих чертах выяснили сущность зависимости коэф­фициента L и М от среды, в которой развиваются потоки самоин­дукции и взаимной индукции, в частности, влияние на эти коэф­фициенты свойств магнитных материалов, вносимых в контур. В вышеприведенных рассуждениях мы имеем обоснование того, что в формулах, определяющих L и М, присутствует коэффициент магнитной проницаемости среды m, учитывающий влияние внутриатом­ных токов в среде. Как было отмечено в параграфах 99 и 101, с истинными коэффициентами самоиндукции и взаимной индук­ции мы можем иметь дело только в том случае, когда m=m₀=1 т. е. когда система рассматриваемых цепей расположена в среде совершенно нейтральной в магнитном отношении (строго говоря — в пустоте). Внесение же диамагнитных, парамагнитных и, в особен­ности, ферромагнитных веществ в магнитное поле токов создает условия, при которых простое описание явлений осуществимо только когда мы пользуемся представлением о действующем коэффициенте самоиндукции или о действующем коэффициенте взаимной индукции, так как в этом случае явление осложняется взаимодействием токов системы с указанными внутриатомными токами. Подсчитать такое взаимодействие с каждым внутриатомным током в отдельности мы не умеем и потому обычно пользуемся находимым из опыта коэффици­ентом m учитывающим эти взаимодействия интегрально и входящим в виде некоторого множителя в выражения для действующих L, и М, Рассмотрим теперь более подробно вопрос о действующем коэф­фициенте самоиндукции. Ради того, чтобы возможно проще выявить сущность интересующих нас соотношений, остановимся на случае некоторой обмотки, равномерно распределенной на поверхности тороида (см. рис. 155). Обозначим истинный коэффициент самоин­дукции этой обмотки через L₁ и предположим, что внутри торо­ида—пустота. Если по ней идет ток, сила которого есть i₁ то будем иметь:

 

 

Представим себе затем, что внутри тороида, т. е. в том объеме, в котором находится весь поток самоиндукции, имеется некоторое вещество, и при этом, рассчитывая величину электрокинетической энергии системы, примем во внимание все внутриатомные токи, приносимые в данную систему благодаря наличию вещества. В таком случае мы можем следующим образом представить полную электрокинетическую энергию системы (согласно общей схеме):

где n и u суть всевозможные целые числа, большие единицы, со­ответственно порядковому номеру всех возможных цепей, которые вошли в рассматриваемую систему в виде внутриатомных токов в веществе, образующем сердечник для данной тороидальной об­мотки; М_1n есть коэффициент взаимной индукции нашей основной цепи (первой) с контуром некоторой n-ой цепи внутриатомного тока; L_n есть коэффициент самоиндукции этой n-ой цепи; наконец, М_nu есть коэффициент взаимной индукции между некоторыми двумя внутриатомными цепями.

При рассмотрении физических явлений, имеющих место в данной

основной (первой) цепи, играет существенную роль величина:

Это есть полный магнитный поток, сцепляющийся с данной ос­новной цепью и состоящий, с одной стороны, из истинного потока

-самоиндукции основной цепи и, с другой стороны, из результи­рующего потока взаимной индукции, обусловливаемого наличием очень большого количества внутриатомных токов в веществе сер­дечника.

Если мы, не обращая внимания на сложность структуры по­тока Ф'₁, будем продолжать рассуждать так, как будто бы попрежнему в данной системе существует только основная (первая) цепь, то мы должны будем считать магнитный поток Ф'₁ потоком чистой самоиндукции. В таком случае, обозначая через L'₁ некоторое новое значение коэффициента самоиндукции, можем написать:

Эта величина L'₁ и есть по существу то, что мы называем дей­ствующим коэффициентом самоиндукции. На основании (114) имеем:

Это определение действующего коэффициента самоиндукции, вытекающее из выражения „потока самоиндукции", мы будем на­зывать статическим.

 

Итак, если бы мы имели внутри рассматриваемого тороида пустоту, магнитный поток самоиндукции был бы равен

Ф₁=L₁i₁.

В случае же, когда внутренность тороида заполнена некоторый веществом, „поток самоиндукции" будет иметь значение:

Ф'₁=L'₁i₁.

Отношение потока Ф'₁ к потоку Ф₁, показывающее, во сколько раз возрастает „поток самоиндукции" тороидального соленоида при той же силе тока в случае, если внутри обмотки вместо пустоты будет некоторое вещество, представляет собою именно численное значение магнитной проницаемости данного вещества:

На основании соотношения (115) можем написать:

В случае пустоты мы должны принимать:

m=m₀=1,

и при этом имеем

L'₁=L₁.

В случае же вещества, заполняющего пространство внутри об­мотки, могут быть два случая. Первый случай будем иметь, когда все контуры внутриатомных токов неподвижны. При

i₁=0 мы должны иметь

Другими словами, в объеме вещества, не подверженного действию внешней намагничивающей силы, все ориентировки внутриатомных цепей равно вероятны, и потому результирующий магнитный поток, обусловливаемый этими элементарными цепями и сцепляющийся с рассматриваемою основною цепью, будет беспредельно мал.

Представим себе теперь, что в тороидальной обмотке возникает некоторый ток конечной силы i₁. Эффект этого изменения общих электромагнитных условий, имеющих место в системе, должен быть тот же, что и в случае, который был рассмотрен в предыдущем параграфе: во всех „вторичных" внутриатомных цепях должна об­наруживаться тенденция к созданию токов, по направлению обратных току i₁. Эта тенденция будет иметь своим результатом такое из­менение всех внутриатомных токов, которое обусловит возникно­вение потока взаимной индукции, не равного нулю:

 

 

При этом, в силу реакции, этот поток будет иметь обратное напра­вление по отношению к основному потоку, связанному с током i₁. В виду этого будем иметь:

Следовательно, в этом случае можно написать:

l'₁<l₁

и вместе с тем имеем:

m<m₀.

Это есть случай так называемых диамагнитных веществ. Вто­рой случай мы будем иметь, когда пространство внутри данной тороидальной обмотки заполнено парамагнитным или ферромаг­нитным веществом. В этом случае внутриатомные электрические цепи не остаются неподвижными, но под влиянием внешнего маг­нитного поля могут менять свою ориентировку, вращаясь около некоторых центров (см. § 37). При этом элементарные внутриатом­ные цепи будут стремиться так повернуться, чтобы направление связанного с каждой из них элементарного магнитного потока со­впало с направлением основного потока, обусловленного током i₁. Благодаря этому в данном случае получим:

Сущность описываемого явления может быть схематически по­яснена рисунками 162 и 163.

Контур I представляет собою данную цепь, по которой протекает ток i₁ по направлению, показанному крестиком и точкой. Контур II условно представляет некоторую совокупность элементарных внутриатомных токов. На рисунке 162 контур II скрещен контуром I. Это соответствует состоянию системы до поворота элементарных цепей (элементарных магнитиков), когда результирующий поток взаимной индукции, сцепляющийся с основ­ным контуром I и обусловливаемый всей совокупностью внутри­атомных токов, равен нулю. На рисунке 163 контур II представлен в предельном положении после поворота под действием сил электро­магнитного взаимодействия контуров I и II, причем результирующий магнитный поток, сцепляющийся с контуром I, возрастает.

Итак, в рассматриваемом случае парамагнитного или ферромаг­нитного вещества получаем:

Ф'₁>Ф₁

или

L'₁>L₁

и вместе с тем:

m>m₀.

 

 

Остановимся еще на статическом определении действующего коэффициента самоиндукции:

Самое строение приведенных соотношений ясно показывает, что действующий коэффициент самоиндукции L'₁ не является, вообще говоря, постоянной величиной, но зависит от силы тока i₁, при котором мы определяем эту величину. Этот вывод находится в полном соответствии с тем, что мы знаем о зависимости магнитной проницаемости от величины магнитной силы или от эквивалентной величины — силы намагни­чивающего тока.

К выражению для действу­ющего коэффициента самоин­дукции можно подойти еще и дру­гими путями. Обратимся к величине электродвижущей силы, индуктируемой в рассматриваемой цепи в случае, когда внутренняя полость тороида заполнена каким-либо веществом. Согласно предыдущему, мы имеем в этом случае:

Следовательно, можем написать:

Игнорируя внутриатомные токи и рассматривая эту электро­движущую силу исключительно как результат явления самоиндукции, протекающего в данной основной цепи, мы можем условно написать:

где

Величина l₁" также может быть названа действующим коэффи­циентом самоиндукции. Практически эту величину всегда можноопределить изсоотношения:

 

 

Определение действующего коэффициента самоиндукции, выте­кающее из выражения индуктированной „электродвижущей силы самоиндукции", мы будем называть динамическим.

Из соотношения (117) ясно видно, что L"₁ также не есть вели­чина постоянная, но зависит, вообще говоря, от силы тока i"₁ и от скорости его изменения. По существу величина L"₁, зависит от так называемой дифференциальной магнитной проницаемости вещества сердечника, т. е. от величины производной:

dB/dH.

Это легко может быть показано, если в соотношении (118) электродвижущую силу выразить через производную магнитного потока (и магнитной индукции) по времени, а силу тока выразить через магнитную силу внутри соленоида.

Путем сопоставления соотношений (115) и (118) не трудно убе­диться в том, что

т. е. что статическое определение действующего коэффициента самоиндукции и динамическое определение его же являются вели­чинами, которые, вообще говоря, различаются между собою.

Рассуждениями, совершенно аналогичными вышеприведенным, можно вывести и форл5альные соотношения, связывающие действу­ющий коэффициент взаимной индукции некоторых двух цепей с элек­тромагнитными процессами, происходящими внутри атомов вещества, находящегося в пространстве, занятом потоком взаимной индукции. При этом, исходя из выражения для потока взаимной индукции, я игнорируя внутриатомные токи, мы придем к статическому опре­делению действующего коэффициента взаимной индукции, а основы­ваясь на выражении индуктированной электродвижущей силы, мы можем притти к динамическому определению действующего коэф­фициента взаимной индукции, отличающемуся от первого.

Во всех случаях, когда требуется точный учет всех обстоятельств, имеющих место в электродинамических системах, необходимо строго считаться с тем, что действующие коэффициенты самоиндукицни и вза­имной индукции не являются величинами постоянными, но зависят от условий, в которых протекают рассматриваемые процессы. Нередко, однако, ради упрощения и когда практически можно удовлетвориться не вполне точным рассмотрением того или иного вопроса, допускают, что действующие коэффициенты L и М имеют некоторое постоян­ное среднее значение.