Уравнения (133) и (134) по существу являются общим математическим выражением того факта, что при одновременном существовании взаимно связанных электрического и магнитного полей, т. е. при существовании электромагнитного поля, имеет место движение электромагнитной энергии в пространстве. Как уже было отмечено выше, всякое изменение силы магнитного (или электрического) поля во времени связано, вообще говоря, с изменением пространственного распределения электрического (соответственно, магнитного) поля. Изменение же Н и Е в пространстве с течением времени, являясь перераспределением энергии, есть не что иное, как именно движение электромагнитной энергии. Для того, чтобы возможно более отчетливо выявить данное обстоятельство, обратимся к простейшему случаю идеального диэлектрика, в объеме которого отсутствуют при этом какие бы то ни было распределенные электрические заряды. В таком случае мы можем принять:
r=¥ и потому имеем:
Принимая это во внимание, перепишем теперь уравнения (133 и (134), причем переставим правые и левые части:
Подвергнем теперь эти уравнения некоторым преобразованиям. Продифференцировав первое уравнение системы (135) второй раз по времени, получим:
Так как
то можем написать:
Подставляя сюда выражения производных:
из уравнений (136), получаем:
или, раскрывая скобки, имеем:
Прибавив к правой части этого уравнения и вычтя:
и произведя надлежащие преобразования, можем написать:
Необходимо теперь принять во внимание, что выражение:
равно нулю. Это вытекает из теоремы Лапласа (см. § 58, к) в связи с тем, что согласно условию в рассматриваемом диэлектрике нет объемного распределения электричества. Таким образом, имеем:
На основании этого уравнение (137) принимает вид:
Совершенно аналогичным путем получим такого же вида уравнения для Еу, Ez, Нх, Ну и Hz.
Обратимся теперь к выяснению физического смысла полученной системы уравнений (138). С целью возможно большего упрощения этой системы сосредоточим внимание на случае, когда количества, входящие в них, не зависят, например, от х и y, а являются, следовательно, функциями только z и t. Из уравнений (135) и (136) не трудно усмотреть, что при этом
и
откуда следует, что в данном случае мы имеем:
Еz=const,
Hz=const.
Таким образом, составляющие электрической силы и магнитной силы вдоль оси OZ не изменяются с течением времени и, следовательно, эти величины не принимают никакого участия в рассматриваемом процессе перераспределения, или, другими словами, движения электромагнитной энергии. Изменяются же при этом только составляющие Е и Н вдоль осей ОХ и OY. Мы имеем здесь случай так называемой плоской волны.
Для дальнейшего упрощения данной системы уравнений (138) предположим, что электрическая сила Е полностью лежит в плоскости XOZ. Это предположение равносильно допущению, что:
Ey=0
Пользуясь уравнениями (136), не трудно показать, что в связи с этим мы будем иметь:
или
Нх=const,
т. е. в интересующем нас процессе движения электромагнитной энергии составляющая Нх участия не принимает.
В результате, для плоской волны в рассматриваемом случае система уравнений (138) сводится к следующим двум уравнениям:
Уравнения (139) совершенно тождественны по форме, и потому решения их будут вполне подобны. Для получения решения этих уравнений заменим переменные независимые z и t через новые переменные s и u, связанные с первыми следующими соотношениями:
Произведем указанную замену переменных в первом из уравнений (139). В этом уравнении Ех фигурирует как функция от z и t Мы должны теперь рассматривать Ех как функцию от s и u,
т. е. полагаем:
Bx(z,t)=Ex(s,u).
Пользуясь соотношениями (140), можем написать:
и также:
Подставляя полученные значения производных:
в первое уравнение (139), получаем:
Совершенно аналогичное преобразование второго уравнения (139) приведет его к виду:
Общие интегралы этих уравнений имеют, как известно, следующую форму:
где f1, f2, f3 и f4 представляют собою знаки произвольных функций, характер которых зависит, вообще говоря, от условий, являющихся причиною возникновения электромагнитного поля. В частном случае, имеющем особенно важное теоретическое и практическое значения, электромагнитное поле может порождаться, благодаря процессу переменного электрического тока, т. е. в связи с электрическими колебаниями в некоторой системе. В таком случае функции f1, f2, f3 и f4 являются гармоническими функциями и соответственно этому подобный же характер имеют и Ех и Hу,
Остановимся теперь на выяснении физического смысла частных решений:
Значения Е'х к H'y остаются постоянными во все время, пока будет сохраняться постоянной величина:
Из этого следует, что если какая-либо точка движется в положительную сторону вдоль оси OZ со скоростью, равной
то для этой точки значения Е'х и Н'у будут сохранять постоянную величину. Другими словами, некоторые определенные значения электрической и магнитной силы распространяются вдоль положительного направления оси OZ со скоростью:
Соответственным образом частные решения:
представляют собою некоторые значения электрической силы и магнитной силы, распространяющиеся с той же скоростью г вдоль отрицательного направления оси OZ.
На основании изложенного мы приходим к заключению, что в случае, если в некоторой плоскости электрическая сила Е и магнитная сила Н претерпевают гармонические колебания во времени то в некоторый данный момент вдоль направления, перпендикулярного этой плоскости, мы будем иметь гармоническое же распределение Е и Н. При этом, пользуясь уравнениями (135) или (136), не трудно показать, что в любой точке в направлении распространения плоской электромагнитной волны электрическая сила Е и магнитная сила Н находятся в одной и той же фазе, т. е. одновременно переходят через минимум и через максимум.