Оценка погрешностей результатов измерений

Средняя арифметическая погрешность Истинное значение А измеряемой величины почти всегда неизвестно, и поэтому определить погрешность каждого отдельного измерения по разности (2.1) не представляется возможным. Если число измерений п достаточно велико, то вместо значения А берут наиболее достоверное значение — среднее арифметическое (действительное):

(2.10)

Эта формула математически выражает постулат среднего арифметического: наиболее достоверное значение измеряемой величины, которое можно получить на основании большого ряда заслуживающих одинакового доверия намерений, есть арифметическое среднее из полученных значений.

Зная среднее арифметическое значение, можно по аналогии с разностью (2.3) определить разность:

(2.11)

Где υ_i— отклонение результата единичного измерения от среднего значения. Это отклонение может быть вычислено для каждого измерения.

Следует помнить, что сумма отклонений результата измерений от среднего значения равна

нулю, а сумма их квадратов — минимальна, т. е. и

Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений.

Из сравнения выражений (2.11) и (2.3) следует, что погрешности υ_i отличаются от случайных погрешностей Δ_i так, как отличается среднее арифметическое значение ряда измерений от истинного А — значения их близки друг другу, но, как правило, не равны. Степень приближения υ_i к Δ_i будет тем больше, чем больше n и при можно считать, что это υ_i = Δ_i позволяет все теоретические, выводы, относящиеся к случайным погрешностям Δ_i распространить и на υ_i — отклонение результата единичного намерения от среднего (действительного) значения. Абсолютную погрешность λ которая появляется при замене истинного значения А действительным можно оценить по их разности:

(2.12)

Если вычесть почленно из уравнения. (2.3) Уравнение (2.11) и.учесть выражение (2.12), то получается, что λ = Δ_i – υ_i Эту погрешность называют случайной погрешностью результата измерений (среднего арифметического), в отличие от Δ_i называемой случайной по грешностью единичного измерения.

Пользуясь значением А как конечным результатом ряда измерений, можно допустить погрешность λ которая меньше, чем значения Δ_i единичных измерений.

С р е д н я я к в а д р а т и ч е с к а я п о г р е ш н о с т ь Случайную погрешность чаще оценивают с помощью средней квадратической погрешности σ . Практически она определяется по результатам измерений согласно теории вероятностей по приближенной формуле, вытекающей из (2.7) и приводимой здесь без доказательства:

(2.13)

Где υ_i отклонение результата единичного измерения от среднего значения; п — число измерений.

Так как среднее арифметическое обладает некоторой случайной погрешностью и имеет определенную вероятность в отношении большего или меньшего ее значения, теория случайных погрешностей вводит также понятие о среднем квадратическом отклонении среднего арифметического (средняя квадратическая погрешность результата измерений)

Возведя в квадрат правую и левую части равенства (2.12) и выполнив необходимые преобразования, получим

(2.14)

где приближенное значение средней квадратической погрешности ряда из п измерений.

Степень приближения σ к S и к определяется числом измерений п; в пределе они равны друг другу:

Из формулы (2.14) следует, что с увеличением числа измерений точность результатов возрастает, но это происходит мед­леннее, чем увеличение числа измерений.

При обработке результатов измерений иногда определяют сред­нее относительное квадратическое отклонение по формуле

(2.15)

Максимальная погрешность. При оценке результатов измерений иногда пользуются понятием максимальной или предельной допустимой погрешности, значение которой определяют в долях σ или S. В настоящее время существуют разные критерии установления .максимальной погрешности, т. е. границы поля допуска ± ∆ в которые случайные погрешности должны уложиться. Общепринятым пока является определение максимальной погрешности, равной Δ = 3σ (или 3S). В последнее время на основании ин-формационной теории измерений проф. П. В. Новицкий рекомендует пользоваться значением Δ = 2σ