Погрешности и их учет

При применении вычислительных методов исходная информация подвергается математической обработке – над ней выполняются различные операции. Для проведения численных расчетов нужно знать, каковы исходные данные, с какой точностью должна быть получена выходная информация, какова точность выполнения операций и какой алгоритм должен быть применен в данном случае. Принято рассматривать три типовых источника погрешностей

- погрешность входных данных,

- погрешность метода (обрыва),

- погрешность округления (машинная погрешность).

Погрешность входных данных. На практике исходная информация получается с помощью различных измерений, содержащих определенные погрешности – систематические и случайные. Систематические ошибки исключают введением соответствующих поправок. Анализ случайных ошибок проводится с применением методов теории вероятности и математической статистики.

Погрешности метода (обрыва) являются мерой отклонения вычислительной модели от точной и могут появляться даже при точной исходной информации. Максимально точная оценка погрешности метода обязательно должна быть его составной частью и включаться в алгоритм его реализации.

Погрешность округления (машинная) зависит от функционирования вычислительной техники

- метод обрыва и округления, принятый в машине;

- потеря значащих разрядов при вычитании;

- техническое состояние машины;

- потеря разрядов при превышении допустимой разрядности представления чисел (например, при делении на малые числа).

Вычислительный алгоритм состоит из ряда отдельных последовательных операций, поэтому погрешности выхода после каждой операции являются входными для последующих.

Разрабатываемый алгоритм должен предусматривать осуществление

- контроля входной информации на соответствие заданной области её изменения (во избежание грубых промахов);

- оценки погрешности метода решения задания с выводом на печать соответствующего значения;

- контроля на соизмеримость величин при операциях вычитания и деления (во избежание потери значащих цифр и деления на ноль).

Различают абсолютную и относительную погрешность результата. Обозначим через Х точное значение рассматриваемой величины; − полученное приближение. Абсолютная погрешность будет иметь вид

.

Относительная погрешность

.

Если рассматривается функция , то её погрешность в зависимости от погрешности аргумента будет иметь вид

.

При достаточно малых значениях абсолютной погрешности аргумента можно заменить погрешность функции дифференциалом , тогда

.

Относительная погрешность

.

При выполнении задания необходимо определить конкретное выражение для расчета погрешности и указать ее численную величину для полученных результатов.