Лекции 4 семестра по направлению 210700
Тема 1. Спектральное представление колебаний
Лекция 1
Лекция
Рассмотрим основные свойства преобразования Фурье, которые формулируются как теоремы.
Теорема о сдвиге.
Если дан смещенный во времени сигнал (запаздывание на t0), то Фурье – преобразование от этого сигнала будет:
, где . (2.3)
Таким образом, смещенный сигнал имеет спектральную плотность, отличающуюся лишь спектральной плотностью фаз.
Теорема о свертке.
Если заданы два сигнала и известны их спектральные плотности , то Фурье-преобразование произведения сигналов равно:
. (2.4)
. (2.5)
Интегралы в этих выражениях называются свертками.
Теорема о масштабе (подобии).
Если известен сигнал и его спектральная плотность, то Фурье-преобразование равно , где k – коэффициент.
Теорема о модуляции.
Если известен сигнал и его спектральная плотность , то Фурье-преобразование равно: .
Таким образом, при умножении сигнала на его спектр сдвигается по оси частот на величину .
Теорема Парсеваля.
Если заданы два сигнала с известными спектральными плотностями, то их скалярное произведение равно:
.
Частный случай приводит к следующему равенству (иногда называют равенством Релея):
. (2.6)
Физический смысл этого равенства заключается в том, что энергию сигнала можно определить по спектральной плотности. Поэтому, если сравнить спектральные плотности сигнала до обработки и после можно судить об энергетических искажениях при обработке
Спектральная плотность сингулярных сигналов
Элементарные сигналы (функции) часто используются для описания более сложных, например, цифровых сигналов. Это позволяет производить с ними различные операции по правилам непрерывных сигналов, что существенно облегчает анализ. Наибольший интерес представляют элементарные сингулярные сигналы, т.е. сигналы, имеющие разрывы непрерывности. Рассмотрим основные из них.
Единичная функция. (рис. 2.2)
Рис. 2.2
Аналитическое описание единичной функции, которая еще называется функцией Хевисайда или функцией включения, имеет следующий вид:
(17.1)
Таким образом, единичная функция - это «скачок» от 0 до 1 в момент t = 0 (для определенности считают )
Прямое определение спектральной плотности единичной функции невозможно, поскольку она не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. Однако, можно найти ее спектральную плотность, воспользовавшись предельным переходом и линейностью преобразования Фурье. Находим:
Единичный прямоугольный импульс определяется аналитической записью следующего вида:
где – длительность импульса.
Рис.2.3
Спектральная плотность прямоугольного импульса находится непосредственно из прямого преобразования Фурье. Получим:
При описании сигналов иногда используют, так называемый, единичный импульс r(t), имеющий единичную амплитуду и бесконечно малую длительность. Единичный импульс связан с прямоугольным импульсом следующим соотношением:
Дельта–функция (рис. 2.4).
Рис. 2.4
Аналитическая запись функции, которая также называется функцией Дирака, имеет следующий вид:
Дельта-функция связана с единичной функцией очевидным соотношением:
,
т.е. она выражает скорость изменения . Поэтому их размерность отличается множителем 1/с (если -безразмерна, то - имеет размерность [1/с]).
-функция обладает двумя важными свойствами:
.
Последнее свойство называется “фильтрующим свойством” -функции. Из этого свойства непосредственно следует спектральная плотность -функции:
(2.7)
Для описания сигналов иногда используют связь между -функцией и единичным импульсом:
.
Используя выражение (2.7) и свойство линейности преобразования Фурье легко найти спектральную плотность постоянного во времени сигнала, т.е. когда s(t) = 1 при . Находим:
; .
Поскольку единичную функцию можно представить суммой , где sign(t) – функция знака, т.е. функция, определяемая следующим соотношением:
,
постольку спектральную плотность единичной функции иногда представляют в следующем виде:
Таким образом, особенность спектральной плотности единичной функции подчеркивается отдельным слагаемым.
Тема 2. Теория электрических фильтров
Лекция 3
Лекция 5. Синтез активных RC-фильтров и С-фильтров
Коррекция и регулирование частотных характеристик
Частотная зависимость свойств электрической цепи может определяться различными целями. Например, для неискаженной передачи сигнала требуется, чтобы комплексная передаточная функция цепи одновременно удовлетворяла двум, рассмотренным ранее, условиям
Или для передачи сигнала по линии связи, требуется определенный уровень искажений амплитуды и фазы сигнала, а линия физически не обеспечивает этот уровень. В рассмотренных и других случаях можно добиться нужных свойств цепи передачи сигнала, если последовательно с корректируемой цепью включить корректирующую цепь (корректор). Различают корректоры АЧХ и корректоры ФЧХ, поскольку одним и тем же корректором линейных искажений трудно исправить амплитудные и фазовые искажения.
АЧХ цепи передачи требуемой формы можно создать с помощью корректирующей цепи, содержащей неинвертирующую или инвертирующую схемы включения ОУ.
Корректоры, по определению, имеют передаточные функции с одинаковым числом нулей и полюсов, которые, чередуясь, располагаются на отрицательной части действительной оси p-плоскости (это основной признак корректора).
Для примера рассмотрим корректор низких частот (НЧ) первого порядка.
Передаточная функция такого корректора имеет вид
HK(р)=KНЧ ∙ (1+pt1 )/ (1+pt2).
Соответствующая этому выражению АЧХ определяется как
,
где w 1 = 1/t1; w 2 = 1/t2 ; w 2 < w1.
Схема корректора НЧ первого порядка приведена на рис 5.6, там же приведена его АЧХ в логарифмическом масштабе. Из сравнения схемы рис. 5.6 и неинвертирующей схемы 5.2 следует, что Z1=R1;Z2=R3 + R2 /(1+jωt2); t2=R2 C1 .
Тогда находим окончательно .
Рис. 5.6
Корректор верхних частот (ВЧ) первого порядка будет иметь передаточную функцию, также соответствующую выражению (5.2). Однако соотношение между граничными частотами w 1 и w 2 будет противоположным, т.е. будет w 1 < w 2. Тогда АЧХ будет иметь подъем 20 дБ/дек при изменении частоты от w 1 до w 2. Схема корректора ВЧ первого порядка получается из схемы корректора НЧ рис.5.6, если сопротивления Z1 и Z2 поменять местами.
ФЧХ можно корректировать, не изменяя АЧХ, с помощью фазовых фильтров на ОУ. Фазовым называется фильтр, АЧХ которого не зависит от частоты, а его ФЧХ зависит от частоты. У фазовых фильтров нули передаточной функции расположены на правой полуплоскости р-плоскости, а симметричные им полюсы - на левой полуплоскости. Например, передаточная функция фазового фильтра 1-ого порядка выглядит так:
H(p)=(1-pt0) / (1+pt0), где t0 = 1/w0.
На рис. 5.7 приведены схема фазового фильтра (корректора) первого порядка и его частотные характеристики. Для приведенной схемы : H(p)=(1-pR1 C1) / (1+p R1 C1) . На НЧ емкость не влияет на работу и схема является повторителем сигнала (j =0 ). На ВЧ – это инвертор с единичным коэффициентом усиления (j = -180 o ). Фазовый сдвиг определяется ФЧХ: j(w) = –2 arctg( R1C1w ). Для получения обратной ФЧХ (изменения фазы то 180 o до 0 o) нужно поменять местами C1 и R1 , тогда j(w) =p –2 arctg( RCw ).
Лекция 6
Синтез нерекурсивных цифровых фильтров
Лекция 7
Лекция 8.
Лекция 9