Сигнал на выходе БИХ-фильтра во временной области определяется формулой дискретной свертки
.
Однако, поскольку алгоритм рекурсивный, то для формирования k-го отсчета выходного сигнала используются предыдущие значения входного и выходного сигналов. Соответствующее разностное уравнение БИХ-фильтра будет иметь следующий вид:
Коэффициенты a1, a2, … an определяют рекурсивную часть алгоритма и не равны нулю одновременно. Обычно n ≥ m. Выполняя Z-преобразование алгоритма рекурсивной
фильтрации,находим:
.
Это и есть алгебраизация разностного уравнения (42.2) с помощью
Z-преобразования.
Определим передаточную функцию рекурсивного ЦФ, пользуясь определением (40.5)
Получим
.
Число «n» определяет порядок БИХ-фильтра. Анализ передаточной функции рекурсивного фильтра показывает, что она на Z-плоскости имеет «n» - полюсов. Если эти полюсы размещаются на Z-плоскости в пределах единичного круга, то рекурсивный цифровой фильтр – устойчив. Если хотя бы один полюс выйдет за пределы единичного круга, то рекурсивный ЦФ будет неустойчив. (Если будет располагаться на границе, то ЦФ будет автоколебательной системой). Полученные выражения позволяют построить структурную схему рекурсивного ЦФ, приведенную на рис. 42.1.
Рис. 7.1
Из полученной схемы видно, что верхняя часть соответствует нерекурсивной части алгоритма фильтрации, а нижняя – рекурсивной. Это схема прямой реализации алгоритма ЦФ. Из анализа структурной схемы дискретной цепи следует, что БИХ-фильтр имеет цепь обратной связи, т.е. для него принципиальным является оценка устойчивости. Для реализации рекурсивного ЦФ на элементах цифровой электроники, как это следует из схемы рис.7.1, требуется, например, два регистра сдвига и два запоминающих устройства для хранения коэффициентов , а также две логические матрицы для умножения. Естественно такой фильтр может быть реализован на микропроцессоре, запрограммированном в соответствии с алгоритмом фильтрации. Можно получить некоторую экономию в необходимом объеме оперативной памяти, если перейти к канонической структуре ЦФ, где регистр сдвига используется и для сигнала прямой передачи, и для сигнала обратной связи.
Такая каноническая структурная схема рекурсивного фильтра приведена на рис.7.2.
Рис.7.2
Анализ канонической схемы показывает, что для ее реализации требуется лишь один регистр сдвига (уменьшение необходимой оперативной памяти микропроцессора).
Определив системную функцию БИХ-фильтра, можно найти импульсную характеристику, взяв обратное Z-преобразование
Вычисление контурного интеграла осуществляется по единичной окружности, внутри которой располагаются полюсы устойчивого БИХ-фильтра.
В качестве примера решения тестового задания рассмотрим типичное ТЗ.
Необходимо определить передаточную функцию заданной на рис. 7.3 структурной схемы дискретной цепи
Рис. 7.3
На рис. 7.3 приведена структурная схема БИХ – фильтра, поскольку имеется цепь прямой передачи и цепь обратной связи, т.е. алгоритм фильтрации будет рекурсивным
,
причем b0 =1, b1 =2, a1=3.
Тогда передаточная функция будет дробно-рациональной функцией, у которой числитель описывает нерекурсивную часть алгоритма, а знаменатель – рекурсивную. Из схемы можно легко определить числитель и знаменатель передаточной функции в следующем виде
.