Спектральный анализ периодических сигналов с помощью ряда Фурье может быть обобщен на случай непериодических сигналов. Среди непериодических сигналов наибольшее использование находят финитные сигналы, т.е. сигналы, ограниченные по длительности, например, от 0 до t1 (см. рис. 2.1,а).
Будем рассматривать абсолютно интегрируемые сигналы , т.е. сигналы с ограниченной энергией. Если дополнить финитный сигнал, т.е. сигнал, ограниченный по длительности, таким же, но следующим через интервал, равный ± n×T (T-период), то получим рассмотренный выше периодический сигнал (см. рис. 2.1,б).
Рис. 2.1
Очевидно, исходный финитный сигнал отличается от периодического сигнала лишь тем, что у него период стремится к ¥. Тогда получим:
.
Если , то спектральные составляющие располагаются так плотно, что при этом спектр становится сплошным; при этом расстояния между спектральными составляющими , а . В результате получим спектральную плотность сигнала (сумма в формуле (15.5) перейдет в интеграл):
, (2.1)
которая называется прямым преобразованием Фурье.
- это обратное преобразование Фурье.
Таким образом, непериодический сигнал и его спектральная плотность связаны взаимнооднозначным прямым и обратным преобразованиями Фурье.
Из сравнения прямого преобразования Фурье с рядом Фурье видно, что и там, и там сигнал представляется в виде суммы гармоник, но в отличие от ряда Фурье здесь сумма бесконечно малых гармоник . Если рассмотреть какую-либо k-тую гармонику, то амплитуда этой гармоники будет равна , т.е. спектральная плотность имеет смысл плотности амплитуды спектра и измеряется . Таким образом, спектральная плотность показывает распределение амплитуд по частоте. Другой важный вывод: спектральная плотность непериодического сигнала и огибающая спектра периодического сигнала, полученного из непериодического путем его повторения через период , совпадают по форме и отличаются только масштабом. Это позволяет вычислять спектр периодического сигнала, рассчитывая его огибающую с помощью прямого преобразования Фурье, что гораздо легче, чем вычисление коэффициентов ряда Фурье.
Так как интегрирование – линейная операция, то преобразования Фурье обладают свойствами линейности (это линейный функциональный оператор). Введем обозначение: F(×××)-прямое преобразование Фурье; F-1(×××)-обратное преобразование Фурье.
Если , то , (2.2)
где , ki – числовой коэффициент. Справедливо и обратное утверждение.