Перенос в движущейся среде любой субстанции (массы, импульса, теплоты) происходит как молекулярным хаотическим движением, так и конвективным (макроскопическим) движением молей газа или жидкости. Конвективный теплообмен и трение по тракту двигателей изучают в концепции пограничного слоя, введенной Л. Прандтлем в механику жидкости и газа в 1904 г. Поток продуктов сгорания разделяют на область невязкого и нетеплопроводного ядра и пристеночную область, именно в которой происходит перенос импульса, теплоты и массы. Такой подход позволил существенно упростить задачу вычисления потоков теплоты и получить практические результаты.
Рассмотрим обтекание газовой фазой продуктов сгорания тракта некоторого условного РД с классическим соплом Лаваля согласно рис. 7.1. В общем случае можно допустить существование трех пограничных слоев: динамического, в котором происходит перенос импульса и возникают напряжения трения на стенке; теплового, в котором происходит перенос теплоты и возникает тепловой поток в стенку, и диффузионного, в котором происходит перенос компонент газовой смеси и возникает поток массы к стенке. На рис. 7.1 принята аналогия между переносом теплоты и массы (скалярная субстанция переноса, в отличие от импульса). Для пограничного слоя принята следующая система координат: продольная по контуру сопла s и нормальная к стенке ввиду того, что в теории сопла осевую координату обозначают х, а радиальную - либо r, либо у.
Математические формулировки потоков импульса, теплоты и массы получают в рамках линейной термодинамики необратимых процессов, близких к равновесию. При малых отклонениях от равновесия поток какой-либо субстанции есть произведение обобщенной термодинамической силы на коэффициент пропорциональности. Такое линейное соотношение именно и называют феноменологическим законом.
Тепловые и диффузионные потоки в смеси газов возникают при наличии хотя бы одного из следующих факторов:
- градиент температуры;
- градиент давления;
- градиент концентрации.
Рис.7.1. Развитее пограничных слоев по тракту сопла
Воздействие движущейся газовой фазы на стенку конструкции определяет напряжения трения, плотность конвективного теплового потока и массовую скорость подвода химически активных компонент. Значения их вычисляют с помощью феноменологических законов Ньютона, Фурье и Фика:
- напряжение трения ,
- плотность теплового потока , (7.1)
- плотность потока массы i-го компонента .
Здесь: - динамическая вязкость газа,
- теплопроводность газа,
- плотность газа,
- коэффициент диффузии i-гo компонента газа.
Тогда для определения напряжения трения и плотностей потоков теплоты и массы остается определить значения производных скорости, температуры и концентрации по нормальной к стенке координате на поверхности. А это оказалось исключительно трудной задачей, и механика жидкости и газа этим занимается более 100 лет.
Перенос импульса в жидкости или в газе, т.е. распределение касательных напряжений в потоке и на стенке сформулированы в уравнениях Навье-Стокса еще в середине XIX века. Но решение их во всем спектре возникающих практических задач до сих пор отсутствует, несмотря на огромную производительность имеющихся компьютеров. В первую очередь, это вызвано возникновением турбулентности.
Сначала инженеры при создании энергетических установок использовали эмпирические зависимости, полученные в экспериментах с помощью теории размерностей и подобия.
Более простым и доступным для исследования является выражение плотности конвективного теплового потока в стенку обтекаемой конструкции в виде закона Ньютона:
(7.2)
где - коэффициент пропорциональности или коэффициент конвективного теплообмена. Выражение (7.2) cтpoгo соответствует случаю обтекания тела несжимаемым стационарным потоком газа с постоянной во времени и по длине температурой и постоянной во времени и по длине тела температурой поверхности - тогда можно говорить о существовании коэффициента пропорциональности между плотностью теплового потока и термодвижущей силой, т.е. разностью температур . Сравнение (7.1) и (7.2) показывает, что , где - толщина пограничного слоя, но как определить эту толщину? - вся проблема в этом.
Практика создания технических устройств подтвердила применимость концепции коэффициента теплообмена не только в таких жестких условиях, но и при переменной температуре рабочего тела и температуре поверхности, а также действия ряда других факторов.
В сжимаемых течениях используют более корректный аналог формулы (7.2):
где - аналог коэффициента теплообмена или коэффициент массобмена (размерность ), - энтальпия восстановления на адиабатической поверхности и энтальпия газа при температуре стенки (изменение температуры газа поперек пограничного слоя существенное и значение удельной теплоемкости также может сильно изменяться).
Напомним основные числа и критерии подобия:
- число Рейнольдса как меру отношения инерционных и вязкостных сил в потоке , где - характерный размер исследуемой области течения;
- число Прандтля как отношение толщин динамического и теплового пограничных слоев
- число Нуссельта как отношение переноса теплоты конвекцией к переносу теплоты молекулярной теплопроводностью газа, ;
- число Стантона как отношение теплоты, подведенной к стенке обтекаемого тракта, к энергии движущегося газа ;
- диффузионное число Стантона как отношение массовой скорости вещества к стенке к плотности потока его в ядре ;
- число Шмидта как отношение переноса импульса к переносу вещества диффузией в бинарной смеси газов - коэффициент бинарной диффузии.
Связь между числами Стантона и Нуссельта имеет вид , а отношение чисел Прандтля и Шмидта есть число Льюиса (отношение интенсивностей диффузионного и кондуктивного переноса энергии).
В общем случае различают числа и критерии подобия. Согласно А. А. Гухману критерий подобия в отличие от числа есть комплекс из величин, наперед заданный по условию. В зависимости от решаемой задачи некоторые комплексы могут быть как числами, так и критериями.
Для безградиентного несжимаемого турбулентного пограничного слоя на гладкой непроницаемой пластине коэффициенты теплообмена вычисляют из соотношения
, (7.3)
где - температурный фактор; индекс «ст» означает, что все величины чисел подобия вычисляются при температуре стенки, т.е. , s - продольная координата расчетного сечения. Обычно пренебрегают небольшим начальным участком ламинарного режима течения.
Применяются также критериальные зависимости для стабилизированного течения жидкости в трубах средняя скорость
, (7.4)
в которой величины в числах подобия определены при температуре жидкости, а характерным размером служит диаметр трубы d, т.е. .
В 50-е годы XX века появилась работа Д.Р. Бартца (США) по исследованию конвективного теплообмена в соплах с небольшими значениями углов до- и сверхзвуковых частей контура на гладкой непроницаемой поверхности. Расчетная зависимость аналогична эмпирическим соотношениям для труб типа (7.4) только коэффициент согласования имел значение 0,026 для дозвуковой части и 0,023 для сверхзвуковой.
Но обтекание материалов тракта сопла даже простой конструкции (рис.7.1) уже характерно наличием ряда возмущающих факторов по сравнению с наиболее простыми (эталонными) условиями при течении на гладкой непроницаемой пластине.
К первой группе факторов относят особенности обтекания потоком продуктов сгорания:
- турбулентный режим в пограничном слое по тракту двигателя, за исключением отдельных небольших участков;
- сжимаемость (число Маха может достигать М = 4,5);
- градиент давления, особенно за минимальным сечением сопла;
- повышенная турбулентность ядра потока;
- двухфазность рабочего тела (продукты сгорания металлизированных топлив) (для РДТТ);
- сильная неизотермичность пограничного слоя;
- возможная нестационарность расхода рабочего тела.
Ко второй группе относят факторы, характеризующие состояние поверхности стенки:
- изменение температуры поверхности во времени и по длине тракта; проницаемость (вдув или отсос газа);
- шероховатость;
- тепловые эффекты окисления и испарения материалов.
Поэтому необходима реализация теории пограничного слоя с привлечением данных многочисленных экспериментов. На практике для расчетов коэффициентов теплообмена на гладкой непроницаемой, поверхности тракта сопла используют методику В.С. Авдуевского, учитывающую наличие отрицательного градиента давления, сжимаемость газа и неизотермичность пограничного слоя:
(7.5)
где - значения энтальпии потока при температуре торможения, восстановления и стенки, r - коэффициент восстановления температуры.
Число Рейнольдса определено по эффективной длине обтекаемого контура :
Эффективная длина пограничного слоя как раз учитывает наличие отрицательного градиента давления и определена из условия равенства интегральных характеристик пограничного слоя на пластине и в ускоренном течении.
Распределение значений коэффициентов теплообмена по тракту сопла, рассчитанных по формуле Бартца и методике B.C. Авдуевского, показано на рис. 7.2.
| Рис.7.2. Распределение значений коэффициентов теплообмена по тракту сопла Лаваля: р0=5МПа; 1 – расчет по (7.5); 2 – расчет по методике Бартца |