Суть метода Ньютона. Метод Ньютона является одним из самых эффективных методов приближенного вычисления корней уравнения f (x)=0. Пусть корень x=c является внутренней точкой отрезка [a, b]. Предположим также, что на этом же отрезке функция f (x) имеет непрерывные знакопостоянные производные f ’(x) и f ”(x), а её значения f (a) и f (b) имеют разные знаки.
Так как знак f ’(x) постоянен, то функция f (x) на отрезке [a, b] либо возрастает, либо убывает, и, следовательно, в обоих случаях график функции y=f(x) пересекает ось Ox только в одной точке, т.е. x=c является единственным корнем на отрезке [a, b]. Аналогично, так как знак f ”(x) постоянен, то направление выпуклости графика функции y=f (x) на этом отрезке не меняется.
Для определённости рассмотрим случай, когда f ’(x)>0 и f ”(x)<0. В этом случае f (a)<0, f (b)>0 и график направлен выпуклостью вниз (рис. 1). Рисунок 1. Проведём через точку B (b, f (b)) касательную к графику функции y=f (x). Её уравнение имеет вид y – f (b) = f ‘(b) (x – b). Полагая y=0, найдём абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox: Так как, то <b, а так как график функции y=f(x) расположен не ниже касательной, то >c. Итак, c< <b. Возьмём за первое приближенное значение корня точку. Далее проведём касательную к графику через точку ( ; f( )) и, поступая аналогично, возьмём за второе приближенное значение корня точку : При этом c< < . Продолжая этот процесс неограниченно, для любого n получаем формулу: (1) выражающую через. Таким образом, имеем последовательность приближённых значений корня с, причём (2) Формула (1) является основной расчётной формулой метода касательных. Он представляет собой метод последовательных приближений (итераций), который строится с помощью формулы (1). Докажем, что последовательность { } сходится к искомому корню с и оценим погрешность, т.е. отклонение приближённого значения от точного значения корня с. Действительно, в силу (2), последовательность { } убывает и ограничена снизу числом с. Следовательно, она имеет предел с’ ≥ c. Переходя к пределу в неравенстве (1), учитывая непрерывность f(x) и f ’(x), получаем откуда следует, что f (c’) = 0, т.е. c’ – корень уравнения f(x) = 0. Но так как на [a, b] имеется только один корень с, то c’ = c. Итак, последовательность { } сходится к корню с. Оценим теперь отклонение n-го приближения Xn от точного значения корня с. Применяя к выражению f( ) = f( ) – f(c) формулу Лагранжа, имеем f( ) = ( – c) f’(En), где с < En < . Отсюда получаем следующую оценку: (3) где m – наименьшее значение |f ’(x)| на отрезке [a, b]. Формула (3) позволяет оценить отклонение приближённого значения от точного значения корня с через значение модуля функции f(x) в точке. Отметим, что оценка (3) справедлива не только для метода касательных, но и вообще для любого метода приближённого вычисления корня при условии m ≠0. Мы рассмотрели случай, когда f ’(x) > 0 и f ”(x) > 0 на [a, b]. В зависимости от комбинации знаков f ’(x) и f ”(x) возможны ещё три случая: 1) f ’(x) > 0, f ” (x) < 0 2) f ’(x) < 0, f ” (x) > 0 3) f ’(x) < 0, f ” (x) < 0, в каждом из которых обоснование метода касательных аналогично рассмотренному случаю. 3.