Вычисление корня уравнения

Вычисление корня уравнения. Рассмотрим функцию f(x)= x²-4x-4. Эта функция непрерывна на всей числовой прямой.

Найдём отрезок, на концах которого функция f(x) имеет значения разных знаков.

Если f(4) = -4, f(5)= 1, то таким отрезком является отрезок [4, 5]. Функция f(x) на отрезке [4, 5] имеет непрерывные производные f ’ (x)=2x – 4 и f “ (x)=2. Следовательно, первую касательную к графику функции y=f(x) следует проводить через точку [5, 1], (Рис. 2). Рисунок 2: Первоначально рассмотрим ход выполнения задания в программе Microsoft Excel. Программа Microsoft Excel предназначена для работы с таблицами данных, преимущественно числовых.

При форматировании таблица выполняется ввод, форматирование и редактирование текстовых и числовых данных, а также формул.

Наличие средств автоматизации облегчает эти операции.

Созданная таблица также может быть выведена на печать.

В ячейке A9 и A10 введены значения x, которые являются началом и концом отрезка (рис 3). На этом отрезке расположен первый корень данного уравнения.

Затем найдём значения f(x) в этих точках, т.е. в ячейках B9 и B10 введём формулу: =A9^2 - 4*A9 – 4 для x=4, и соответственно =A10^2 – 4*A10 – 4 для x=5. Далее аналогичным образом найдём значения производной f(x) в этих же точках, используя формулы: =2*A9 – 4 для x=4 и =2*A10 – 4 для x=5. Значение второй производной f(x)=2. Положив в формуле (1) =5, получим первое приближенное значение корня: =A10-(B10/C10). Положив теперь в формуле (1) значение, получим второе приближение корня: = A11-(B11/C11) и, наконец, положив значение в формуле (1), получим третье приближение корня: =A12-(B12/C12). Для нахождения погрешности приближения воспользуемся формулой (3). Так как производная f ‘(x)=2x-4 на [4, 5] возрастает, то наименьшим её значением на этом отрезке является f ‘(4)=4, т.е. m=4. Найдём f( ): в ячейке B13 введём формулу =A13^2-4*A13-4. Теперь в ячейке D15 по формуле (3) имеем: =B13/C9. Получившееся число – есть погрешность.

Если по условию курсовой работы точность вычисления корня достаточна, а в моей работе погрешность практически равна нулю, то процесс построения приближений следует прекратить.

Рисунок 3: Теперь найдём приближенное значение корня функции f(x)= x²-4x-4 с помощью программы MathCad 2000. Программа MathCAD 2000 относится к универсальным программам пригодным для решения различных задач.

Она представляет собой автоматизированную систему, позволяющую динамически обрабатывать данные в числовом и аналитическом (формульном) виде. Программа MathCAD 2000 сочетает в себе возможности проведения расчетов и подготовки форматированных научных и технических документов.

Первоначально присвоил f(x) уравнение x²-4x-4, т.е. f(x):= x²-4x-4 при помощи команды “присваивание”. Затем указал диапазон дискретной величины от -6 до 10, для переменной x с шагом 0.1, и построил график функции f(x) в указанном диапазоне: На графике видно, что, примерно, график функции пересекает ось OX в точке [5, 0]. Теперь строим график так, чтобы было точнее видно, в какой точке график функции пересекает ось OX. Для этого присвоим x диапазон дискретной величины от -2 до 5.5 с шагом 0.1 и построим график: На этом же графике стало практически видно, что искомый корень уравнения лежит на отрезке [4, 5], следовательно, присваиваем x диапазон дискретной величины от 4.5 до 5 с шагом 0.1 и получаем график: Следуя такому графику можно смело сказать, что корень уравнения лежит на промежутке [4.8, 4.9]. Для того чтобы приближенно вычислить корень данного уравнения, воспользуемся специальной функцией root следующим образом: root(f(x), x, 4.8, 4.9)=, где f(x) – функция, x – переменная, [4.8, 4.9] промежуток, на котором в свою очередь лежит искомый корень уравнения.

После знака “ = “ появится приближенно вычисленный корень уравнения x²-4x-4=0. Этот корень будет равен 4.8284 единицам.