Оптимальность по Парето. Итак, при попытке выбрать наилучшее решение мы столкнулись в предыдущем параграфе с тем, что каждое решение имеет две характеристики – средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск. Теперь имеем оптимизационную двухкритериальную задачу по выбору наилучшего решения.
Существует несколько способов постановки таких оптимизационных задач. Рассмотрим такую задачу в общем виде. Пусть А - некоторое множество операций, каждая операция а имеет две числовые характеристики Е(а), r(а) (эффективность и риск, например) и разные операции обязательно различаются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции желательно, чтобы Е было больше, а r меньше.
Будем говорить, что операция а доминирует операцию b, и обозначать а>b, если Е(а)≥Е(b) и r(а)≤r(b) и хотя бы одно из этих неравенств, строгое. При этом операция а называется доминирующей, а операция b - доминируемой. Ясно, что ни при каком разумном выборе наилучшей, операции доминируемая операция не может быть признана таковой. Следовательно, наилучшую операцию надо искать среди недоминируемых операций. Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето.
Имеет место чрезвычайно важное утверждение. Утверждение. На множестве Парето каждая из характеристик Е, r - (однозначная) функция другой. Другими словами, если операция принадлежит множеству Парето, то по одной ее характеристике можно однозначно определить другую. Доказательство. Пусть а, b - две операции из множества Парето, тогда r(а) и r(b) – числа. Предположим, что r(а)≤r(b), тогда Е(а) не может быть равно Е(b), так как обе точки а, b принадлежат множеству Парето.
Доказано, что по характеристике r можно определить характеристику E. Так же просто доказывается, что по характеристике Е можно определить характеристику r. Продолжим анализ приведенного в § 10.2 примера. Рассмотрим графическую иллюстрацию. Каждую операцию (решение) (R, Q) отметим как точку на плоскости – доход откладываем вверх по вертикали, а риск – вправо по горизонтали (рис. 10.1). Получили четыре точки и продолжаем анализ примера 2. Чем выше точка (R, Q), тем более доходная операция, чем точка правее, тем более она рисковая.
Значит, нужно выбирать точку выше и левее. В нашем случае множество Парето состоит только из одной третьей операции. Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для операции Q с характеристиками (R, Q) даёт одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть f(Q)=2Q–R. Тогда для операций (решений) примера 2 имеем: f(Q1)=2*29/6–20/6=6,33; f(Q2)=4,33; f(Q3)=12,83; f(Q4)=0,33. Видно, что третья операция – лучшая, а четвертая – худшая.
Глава 2.