ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ. ПРИНЦИП СТИСКУЮЧИХ ВІДОБРАЖЕНЬ В МЕТРИЧНОМУ ПРОСТОРІ.
ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ. ПРИНЦИП СТИСКУЮЧИХ ВІДОБРАЖЕНЬ В МЕТРИЧНОМУ ПРОСТОРІ. - раздел Философия, НАБЛИЖЕННЯ ЧИСЕЛ. ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ
Нехай Дано Рівняння ...
Нехай дано рівняння (1). Суть полягає в наступному: нехай в деякій достатньо малій області Д існує єдиний розв’язок рівняння (1). Вибираємо в цій області деяку точку (початкове наближення) достатньо близько до і за допомогою співвідношення (2) будуємо послідовність точок :(при ). Вибираючи різними способами функцію будемо отримувати різні ітераційні методи.
Означення: метричним простором прийнято називати впорядковану пару , Х - множина елементів довільної природи, - функція відстані, яка задовольняє наступним аксіомам:
, причому
Означення:Послідовність точок називається фундаментальною, якщо
Означення: метричний простір називається повним, якщо фундаментальна послідовність є збіжна.
Означення:деякий оператор Аздійснює стискування метричного простору в себе, якщо
Означення:точка x називається нерухомою точкою оператора А, якщо Ax=х
Теорема1: в повному метричному просторі Х задано оператор стиску А, тоді шснує єдина нерухома точка цього відображення, тобто рівняння має єдиний розв’язок, який може бути знайдений як границя послідовності .
Теорема2: нехай в повному метричному просторі Х або на його частині яка містить окіл S деякої точки , заданий параметр А. Нехай виконуються умови:
1.
2.
тоді в околі S існує єдиний розв’язок рівняння (3), який може бути отриманий як границя послідовності (4).
Означення: кажуть, що функція на області Д задовольняє умову Лібшеця, якщо існує деяка стала К така, що .
Теорема3: нехай рівняння має корінь в деякому крузі S:і функція в цьому крузі задовольняє умову Лібшеця з константою К<1, тоді яке б не було послідовність (2)
буде збігатися до причому швидкість збіжності характеризується нерівністю
(5).
Означення: умова Лібшеця з константою к<1, буде виконуватись якщо в околі точки має місце нерівність
Метод Гауса
Теоретичні відомості
Найпростішим методом розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод послідовного включення змінних, або метод Гауса. Є кілька модиф
ФОРМУЛИ ТРАПЕЦІЇ.
В формули (1), (2) підставимо , тоді з формули (2) будемо мати:
КУСКОВО-КУБІЧНА СПЛАЙН ІНТЕРПОЛЯЦІЯ.
Означення: Сплайном називається функція для якої існує поділ її області визначення на підобласті, такі що в середині кожної підобласті ця функція є многочленом деякого степеня
Найкращого наближення.
Теорема Веєрштраса вказує що найкраще наближення існує, але не дає практичного способу побудови.
Ефективних способів точної побудови многочлена найкращого наближення до даної функції не іс
Новости и инфо для студентов