Философская оценка. В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной, и сами логические построения оставались в ряде пунктов открытыми, требуя более точного объяснения. Когда Рассел обнаружил парадокс, он будучи убежденным логицистом, не изменил идее и попытался преодолеть антиномию.
Ошибка Г. Фреге состояла в том, что он исходил из мысли об универсальной предметности логики, поэтому допускал рассмотрение в качестве аргументов логической функции 1-й ступени любые объекты индивидуумы, классы, классы классов и т.д. См. подробнее Бирюков Б.В. Теория смысла Г. Фреге Применение логики в науке и технике. М 1960. Логическая или пропозициональная высказывательная функция есть, по определению польского логика А. Тарского, нормальное по форме высказывание, но содержащее переменную, о которой нам ничего не известно.
Например, высказывание x есть студент P x, где x - переменная, а P - предикат быть студентом. Формально здесь все компоненты высказывания налицо имеется субъект x, предикат P и связка есть, однако ненормальным является то, что о субъекте содержательно ничего не известно. Тарский сравнивает пропозициональную функцию с незаполненной анкетой, которая становится нормальным документом лишь после заполнения ее конкретными данными. Логическая функция строится по образу математической, устанавливающей зависимость одной переменной от другой, скажем, y f x. Функция состоит из трех компонентов область определения аргументов независимая переменная x, область значений зависимая переменная y и переход от x к y, то есть собственно функция f например, y 2x, где переход означает умножение на 2 . Логическая функция P x также имеет эти три компонента.
Область определения, то есть независимая переменная x область значений, зависимая переменная, в логике их всего два - истина или ложь в многозначных логиках хотя и много значений, как и в математической функции, но все они расположены в диапазоне тех же двух значений двузначной или черно-белой и т.п. логики переход же от одной области к другой выражается предикатом P x есть не есть y и его вариантами является, принадлежит, входит и т.п. Чтобы избежать ошибки, допущенной Фреге, Рассел строит теорию типов.
Тип - это ранг значений пропозициональной функции, то есть совокупность аргументов, для которых функция имеет значение, то есть превращается в нормальное, осмысленное, истинное или ложное, высказывание. Рассел выделил типы нулевой, первый, второй, третий и т.д. Аргументами нулевого типа являются индивидуумы, вещи аргументы 1-го типа - свойства классы 2-го типа - свойства свойств например, конкретные числа 5, 7, 10 и т.п. 3-го - свойства свойств свойств к примеру, обобщенное понятие числа и т.д. И далее формулируется принципиальное правило функция должна быть одним рангом выше ее аргументов. Это значит, что множество n-го уровня типа должно состоять из элементов n-1 типа. Так, если в качестве аргументов выступают имена элементов, то функция содержит класс, если аргументами являются имена классов, то функция должна содержать уже класс классов и т.д. Иными словами, в ряду аргументов функции не может быть имен, содержащих ссылку на самое функцию.
Рассел писал То, что включает всю совокупность чего-либо не должно включать себя Russel B. Logic and Knowledge.
L 1956. P. 38 Однако здесь одних лишь логических аргументов недостаточно.
Заявляет о себе философия. Как явствует из рассуждений Рассела, всякое свойство, поскольку оно присуще более высокой ступени, может принадлежать как таковое лишь вещам, обладающим этим свойством, и не должно принадлежать себе. Скажем, быть белым приписывается определенным предметам, носителям этого свойства снегу, мелу, свету белому, но не самому свойству. Столь же лишены смысла вопросы и ответы на них типа бытие есть, бытия нет ? Бытие не может быть предикатом, обращенным на себя, но оно предицирует все сущее, поскольку оно есть. Обращение к философии стало неизбежным и при введении логицистами гипотезы бесконечности.
А это произошло в связи с формулированием одной из аксиом арифметики два различных натуральных числа не имеют последующим одно и то же число аксиома функциональности aRbcRb a c. Но если в мире ограниченное число объектов, скажем, 10, тогда все числа после 10 попадают в один и тот же класс все они тождественны числу 10 . Получается, что числа есть, а объектов нет. Разверзлась так называемая арифметическая катастрофа. Спасти ситуацию способна была только идея бесконечности, то есть уже не логическая, а внелогическая аргументация, допущение космологической гипотезы, несущей философский подтекст. Мы требуем аксиомы бесконечности заявляли сторонники спасения логицизма.
Но где ее взять, если ни в логике, ни в самой математике подобной аксиомы не содержится? Аксиома бесконечности формулируется следующим образом.
Если n - натуральное число, то всегда существует некоторое множество индивидуумов, содержащее по крайней мере n 1 элементов. Поскольку n - неопределенно, это требовало ввести содержательно интуитивные соображения и апеллировать к объективному миру, тем самым ставя под сомнение тезис о независимости логики от философии. Мы коснулись обращений к философии по конкретным темам. Вместе с тем встает проблема соотношения математики и логики вообще.
Ее также трудно решить без философского присутствия. Прежде всего программа логицизма упирается в фундаментальный вопрос, возможно ли сведение математики к логике в принципе? Безусловно, у них много общего, но все же они - разные дисциплины. Та и другая крайне абстрактны. Однако если математика отвлечена от конкретно-вещественной природы объекта, то логика - от конкретного содержания мысли. Та и другая есть чистые формы, но первая - формы пространственных и количественных отношений, а вторая - формы мысли.
Это значит, что математика, ее термины обладают специфическим содержанием, не сводимым полностью к логическому. Так, арифметизация математики предполагает ее редукцию не только к целым числам, но и к тому, что называют множествами целых чисел. А это означало бы редукцию к логике помимо арифметики также общей теории множеств. Фреге этого не сделал и даже не пытался сделать, равно, как и другие. Дисциплинарная специфика, препятствующая сведению математики к логике проявляется еще в ряде случаев.
Так, в логике действует принцип идемпотентности сохранения степени, который в математике нарушается. Логическая операция дизъюнкции, объединения классов, когда образуется новый класс, включает в себя элементы, которые принадлежат по крайней мере одному из исходных классов a v a a. В алгебре же a a 2a. Рассмотрим логическое сложение. Если взять высказывание железо - металл и прибавить к нему высказывание железо - металл, то мы только и получим исходное высказывание железо - металл. Но если взять две монеты, да прибавить еще две монеты, то будет уже четыре монеты конечно, когда прибавленные монеты были другими, а не теми же самыми. Аналогично операция конъюнкции, логического умножения, то есть отыскание у исходных классов общих элементов.
В логике a a a, в алгебре a a a2, то есть в логике степень сохраняется, но в алгебре она не сохраняется. Кроме того в алгебре выполняются все логические законы коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, кроме закона дистрибутивности распределения дизъюнкции относительно конъюнкции. В логике a v b c a v b a v c, но в алгебре 5 3 4 5 3 5 4 . Стоит напомнить и то, что процедура арифметизации математики как выявление в ней единых оснований в целях последующей аксиоматизации и перевода в термины логики, сама эта процедура таила сбои. Так, в квантовой механике не выполняется закон коммутативности для конъюнкции a b b a. То есть здесь нарушается не только логическое правило a b ba, но и правило алгебры a b b a. Ограниченность программы логицизма проявилась и в том, что при редукции математики к логике необходим логический аппарат вывода, но правила вывода сама логика не обосновывает.
Это можно сделать только в другой системе, следовательно, нужна более широкая интерпретация, что также диктует необходимость обращения к философии.
При анализе логицистской программы обнаружилось и еще одно обстоятельство. Оказалось, что аксиоматика Пеано нелокальна, поскольку она удовлетворяет не только числам, но и более широкому кругу объектов, чем натуральный ряд например, прогрессиям. Но в самой же логике есть принцип кто много доказывает, тот не доказывает ничего qui kimim probat, neuhil probat. То есть это вносит неопределенность, лишая подобные построения точности и строгости, а ни математика, ни логика не могут такое терпеть.
И в довершение и завершение перечня столь многочисленных прегрешений логицизма принципиальное обстоятельство. На него обратил внимание, в частности, Ван Хао См. Ван Хао. Процесс и существование в математике Математическая логика и ее применение.
М. Мир, 1965. С. 315-389. Положим, удалось свести числа к логическим описаниям, но ведь тогда числовые выражения становятся громоздкими. Строить и осуществлять с их помощью доказательства, оперировать ими было бы делом крайне трудоемким, и мы вынуждены были бы снова вводить сокращения. Однако главное даже и не в этом. Замена арифметического выражения логическим означает, что последнее верно только потому, что верно арифметическое выражение, но не наоборот.
Тогда зачем, резюмирует Ван Хоа, это логическое пришивание оборочек к арифметическому доказательству, ничего, собственно, последнему не прибавляющее и несущее лишь доказательство предложения в логике? В итоге. Как же решил логицизм два основных требования обоснования. 1. Доказательство возможности существования математического объекта осуществимо, если удается найти ему логическую интерпретацию.
То есть если оправдана логика, то оправдана и математика. Однако, как мы видели, это вовсе не самоочевидно, поскольку логика сама нуждается во внешнем оправдании, в частности философией. 2. Доказательство возможной истинности утверждений об объектах математики. Равно и здесь. Математические утверждения истинны, поскольку истинны аксиомы логики. Эта проблема также упирается во внелогические основания, находя их, точнее, растворяясь все в той же философии и постулатах здравого смысла. Логическое оправдание существованию математических понятий не удалось, и это вынуждены были признать сами лидеры логицизма.
Так, Фреге был настолько удручен обнаружением парадоксов, что был склонен даже свою книгу Основания арифметики Grundsдtze der Arithmetic считать ошибочной. Во всяком случае из задуманных им трех томов этого большого труда вышел лишь первый, а работу над вторым томом прекратил, получив письмо Рассела о парадоксе. И Рассел в работе Мое философское развитие 1959 г. констатировал Восхитительная определенность, которую я всегда надеялся найти в математике, затерялась в путанице понятий и выводов.
Это оказался поистине запутанный лабиринт, выхода из которого не было видно Цит. по Клайн М. Математика. Утрата определенности. М. Мир, 1984. С. 267 Если уж лидеры выказали разочарование логицизмом, тем более это характерно для других ученых. А. Пуанкаре сторонник интуиционизма, столь восхищавшийся на II математическом Конгрессе в 1900 г. теорией множеств этой основы логицизма, через восемь лет на Конгрессе в Риме назвал теорию множеств тяжелой болезнью, своего рода математической патологией, от которой удалось избавиться.
Еще громче возмущался Л. Кронекер также разделявший идеи интуиционистов. Он назвал Кантора шарлатаном, заявив все, что он сделал в области трансфинитных чисел, в сфере актуальной бесконечности - все это мистика. Пала тень и на самое математику. Классический анализ, по Кронекеру не более, чем игра в слова. Он мог бы добавить, замечает М. Клайн, цитируя Кронекера, что если у Бога есть несколько математик, то ему следовало бы оставить их при себе. И даже Д. Гильберт, отличавшийся сдержанностью, с горечью признавался Где же еще искать надежность и истинность, если уж само математическое понимание дает осечки? Итак, попытка найти логическое основание существованию математических объектов и правомерности истинностных высказываний о них не увенчалась успехом.
Вместе с тем, усилия логицизма не прошли бесследно. Была проделана большая работ, положительно отразившаяся на математических исследованиях. 4.1.5