Три кризиса оснований математики

Министерство образования и науки РФ Пензенский Государственный университет Кафедра Филоcофия Реферат Три кризиса оснований математики Выполнила Юскаева К. А. Проверил зав. каф. Философия , д.ф.н. Кошарный В.П. Пенза 2004 СОДЕРЖАНИЕ Введение 1. Первый кризис оснований математики в греческий период его развития 4 2. Второй кризис основания математики Проблема обоснования дифференциального исчисления 2.1 Метафизическое обоснование бесконечно малых 2.2 Физическая и геометрическая аргументация 3. Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в. 3.1 Философия математики в начале XIX в. 3.2 Основные направления философского обоснования неевклидовых геометрий в XIX в. 3.3 Становление современной концепции математики 4. Третий кризис оснований математики 4.1 Программа логицизма 1.1 Этап арифметизации задачи 1.2 Второй этап - аксиоматизация арифметики 3. Причина неудач 4. Философская оценка 1.5 Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности 41 5. Интуитивистская альтернатива 5.1 Ограниченность интуиционизма 5.2 Конструктивная ветвь 6 Программное заявление 6.1 Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики 6.2 Результаты Геделя 55 Заключение 59 Список использованной литературы 63 Введение Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах.

Иначе говоря, это вопрос о соотношении концептуальных математических построений и объективной реальности, которую они должны в конечной инстанции отображать.

Это и задает определенный философский смысл проблеме.

В силу специфики математической науки ее объекты постулируются, либо, если и доказываются ссылкой на ранее созданные и принятые теории, то в этих последних они также постулируются.

Иных оснований и обоснований для введения математических, равно как и для вынесения претендующих на истинность высказываний о них, у нас нет. Все иные основания могли бы быть только экспериментально-наблюдательными, но ссылка на эмпирию здесь бьет мимо цели. Остается принять объекты лишь с помощью постулатов, что и требует философского оправдания их права на существование. Следует признать, что сама обоснованность обоснования отнюдь не безальтернативна.

Задается вопрос, так ли уж эффективно обоснование математики? По мнению Л. Витгенштейна, в обосновании нуждается нечто недостаточно устойчивое, иначе какой резон этим заниматься? Но тогда то, что вовлекается в процедуру обоснования, что служит опорой для него, должно быть на самом деле надежным, стабильным. Однако философия подобными свойствами не обладает. Так может ли она стать обоснованием математики? Никакая философия, резюмирует Витгенштейн, не может помочь математике, ибо она имеет только математические трудности, но не философские.

Как полагают некоторые исследователи, математик вообще не нуждается в чьих-либо оправданиях и поддержках, ибо, по выражению Р. Киплинга, математика сама себе расстелила ковры ослепительной славы, так кто или что ей способны еще чего-то добавить! Здесь есть своя правда. Заметим лишь, что, обращаясь к философским обоснованиям, не имею в виду оправдать математику с помощью какой-либо конкретной философской доктрины, что определенно сомнительно хотя не исключено и это. Главная цель подобных намерений в том, чтобы понять, каково отношение математической теории в качестве чисто умозрительной структуры к реальности, что стоит за математическим объектом и стоит ли вообще что-то и чему он обязан своим появлением.

По существу это попытки и прежде всего самих математиков выйти за грани собственной науки, соотнести ее содержание с чем-то внешним, предлежащим ему - с действительным миром, с другими продуктами человеческой мысли.

Но подобные проблемы и называются философскими. Поэтому к ним едва ли применимы такие квалификации, как нечто неустойчивое, зыбкое. Они столь же неустойчивы, сколь устойчивы. Проблема обоснования вызревала исторически, имеет глубокие корни. Вехами на пути становления проблемы были кризисы в основаниях математики, которые и возвели постановку этой темы в ранг актуальных.

По выводу математики из третьего кризиса сложились три направления - логицизм, интуиционизм с его конструктивной ветвью и школа формалистов. Расцвет деятельности всех трех течений падает на период конца XIX - начала XX столетий с выходом конструктивизма в более позднее время. Кроме того, отдельной строкой идет речь о современных попытках обоснования, нашедших выражение в теоретико- множественном и категориальном подходах. 1

Первый кризис оснований математики в греческий период его развития

Первый кризис оснований математики в греческий период его развития. Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся ... Пифагорейская теория четырех стихий и теория космоса содержала также и... Геометрические фигуры сами по себе в отличие от чертежей можно видеть ... е.

Второй кризис основания математики Проблема обоснования дифференциального исчисления

В эпоху средневековья философия математики не вышла за рамки пифагореи... Ученые XVIII в. Кеплер, Кавальери, Ферма, Барроу и другие различными частными методами... Г. Ньютон завершили эту работу созданием одного ! алгоритма решения всех,...

Метафизическое обоснование бесконечно малых

3, вып. 1 83 , с. Общефилософский принцип непрерывности - природа не делает скачков в сф... 196 Здесь легко узнаваемы идея предельного перехода и общее представле... Здесь можно отметить также позиции Канта и Гегеля.

Физическая и геометрическая аргументация

Итак, отказ от метафизики в разработке конкретных научных проблем, про... Однако, хотя Ньютон и отличает физическую задачу от ее математического... Больцано. В результате критики геометрии как базы анализа задача обосн... О. Итак, главными философскими линиями в математике XVIII в.

Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в

они казались легко устранимыми и некоторые из них, действительно, были... 3.1 . Они явились не только крупным событием в развитии математики XIX в но ... Значение неевклидовых геометрий состоит прежде всего в том, что их пос... Лобачевского представил ученому совету физико-математического факульте...

Философия математики в начале XIX в

3.2 . Эту идею о разном статусе математических дисциплин по отношению к опыт... Философия математики в начале XIX в. Наше знание истин геометрии совершенно лишено того полного убеждения в... мы видим наличие двух диаметрально противоположных воззрений на сущнос...

Основные направления философского обоснования неевклидовых геометрий в XIX в

Б. е. Гельмгольц оправдывает, далее, существование сферического и псевдосфер... 4. Коген, Л.

Становление современной концепции математики

Можно спросить писал он что представляют собой эти гипотезы аксиомы ге... Математика выступает по отношению к эмпирическому знанию как особого р... Философские принципы математики Спб 1913, с. 27, вып. Открытие в науке, как бы оно ни было велико, само по себе не является ...

Третий кризис оснований математики

Едва улеглись страсти после второго кризиса оснований, как в конце XIX... М. 490 Далее, логицизм питается тем, что математики традиционно вводят об... Надо выделить основные понятия и операции и интерпретировать их логиче... Следует ли каждую из них аксиоматизировать и далее работать над ними? ...

Этап арифметизации задачи

Были предприняты попытки редукции числа к самому элементарному. С другой стороны, ее основное понятие актуально бесконечного множества... Математика, как говорят, арифметизировалась Гильберт Д. Наука, 1973. С.

Второй этап - аксиоматизация арифметики

1 1 есть натуральное число 2 Следующее за натуральным числом есть нату... Наконец, аксиома 5 Если какое-либо предложение доказано для 1 и если и... Он создавался ранее. Д. Таким образом, логику можно изложить в виде исчисления, построив форма...

Причина неудач

список списков также список. Обычно же классы не содержат себя в качестве элемента своего класса, н... Допустим, в некой деревушке, где имеется лишь единственный парикмахер ... Их суть такова. Предикабильные такие, которые фиксируют свойство, относящееся к самому...

Философская оценка

Когда Рассел обнаружил парадокс, он будучи убежденным логицистом, не и... логики переход же от одной области к другой выражается предикатом P x ... Кроме того в алгебре выполняются все логические законы коммутативности... Ван Хао. Доказательство возможной истинности утверждений об объектах математики.

Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности

представляла реакцию на попытки придать математике чисто логическое ис... Почему? Как показал отечественный математик, сторонник конструктивистс... От возможности построения подобных объектов отвлекаются, принимая ее л... Так, множество целых чисел натурального ряда эквивалентно множеству кв... 5.

Интуитивистская альтернатива

Это актуально переживаемое. Изначальная интуиция - деятельность, связанная с глубинным ощущением в... Два в одном - это и есть базисная интуиция Я. Стоит особо подчеркнуть тот факт, что хотя по внешним описаниям рассуж... При генетическом же построении исходными являются не высказывания, а н...

Ограниченность интуиционизма

Ограниченность интуиционизма. Поскольку мы не можем знать, обладает некоторый элемент бесконечного м... Поэтому, резюмирует Гильберт Запрещение теорем существования и закона ... 383 Преувеличенно-субъективные установки интуиционистов проявились и в... Прежде всего дело касалось фундаментального понятия базисной интуиции,...

Конструктивная ветвь

Другим пунктом расхождений было следующее. М. О логике конструктивной математики. М. В ряду особо важных достижений теории исследователи отмечают доказател... Мы рассмотрели интуиционистское обоснование математики и его развитие ...

Программное заявление

В противовес интуиционизму он утверждал, что интуиция не может быть ис... Опираясь на логицизм и традицию классической математики, он восстанавл... Символы взяты в качестве математической реальности после того, как они... Наука, 1989. В противном случае математика утратит характер достоверного и абсолютн...

Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики

В чем же его суть? Новый метод предполагал построение формализованной ... 3. Приводя содержательную аксиоматику эвклидовой геометрии, Гильберт соот... Гильберт в связи с этим говорил следующее. Будем мыслить три системы в... Налицо исчисление в совокупность исходных символов входят те и только ...

Результаты Геделя

Невозможно такое доказательство непротиворечивости, которое могло бы б... Но от этого не легче. Иначе сказать, мы доказали недоказуемое. Где ошибка? Причина в недоста... ИЛ, 1947. М.

выводы Геделя имеют более широкое, чем критика формализма, применение. Теоремы выявили ограниченность подходов школы Гильберта. Замыкая проблему обоснования математики на самой математике, формализм подменил вопрос об истине ее утверждений требованием непротиворечивости. Но не все сводимо к синтаксису знаков например, чисел и их соединению в формулы.

На развитие математики оказывают влияние проблемы, связанные с выяснением предметного значения символов и их сочетаний формул, а также вопросы практического назначения знаков, использование достижений математики в прикладных аспектах, в решении конкретно-научных, производственных, технологических и т.п. задач. Короче, наряду с синтактикой выполняют важную роль также семантика и прагматика. Б. Рассел так охарактеризовал эту ситуацию формалист, писал он, подобен ому часовому мастеру, который настолько поглощен тем, чтобы лучше выглядели часы, что забывает об их назначении показывать время.

Тем не менее вопреки выводам Геделя Д. Гильберт как и многие математики продолжал верить в осуществимость своей программы и не считал, что потерпел поражение, продолжая работу по исследованию темы Не случайно, что в надгробии могилы Гильберта высечено Wir mussen wissen. Мы должны знать Wir werden wissen Мы будем знать слова, остававшиеся девизом его жизни Вообще сложилась характерная ситуация.

Ряд математиков, признавая правоту Геделя, в то же время сомневались в том, что математическую логику удастся привести к совершенству, когда она могла бы обнять всю математику единой формальной системой, наподобие той, что демонстрирует Гедель. Подспудный смысл таких построений выдает сопротивление стремлениям сузить компетенции математического мышления, тем самым обеднив его. Как заметил современный американский математик П. Коэн, жизнь была бы приятней, не будь гильбертовская система потрясена теоремой Геделя.

Вместе с тем следует признать, что выводы Геделя как и ряд аналогичных теорем А. Тарского, А. Черча и др. не означают признания ущербности формальных систем. И хотя они указывают границы применимости формализмов, только на этом их значение не замыкается. На основе указанных решений удалось раскрыть существенные аспекты многих содержательных понятий, например, истинность, доказуемость, логическое следование. Скажем, разработка Тарским проблемы истины в формализованных языках составили глубокий вклад в теорию истины.

В связи с этим уместно напомнить о методологической функции запретов в науке, одним из которых и является теорема Геделя. Обращаясь к этой теме, Н. Овчинников подробно прослеживает историю науки под углом плодотворности действия запретов на эволюцию знаний, начиная с исторически первого запрета - принцип атомизма нельзя разделять, дробить и т.п. частицы вещества, из коих состоит мир и до современных запретов. По сути дела каждый крупный шаг в развитии знания, особенно точного, связан с выдвижением новых запретов, а теоретические построения без запретов не могут претендовать на научность В частности, по поводу принципов атомизма кто-то из физиков заметил Если бы вся научная информация погибла, то, располагая лишь единственной гипотезой об атомистическом строении вещества, можно было восстановить всю науку Напрашивается мысль рассуждения Овчинникова резюмировать следующим образом.

В научном познании настойчиво проявляют себя различные варианты запретов, играющие важные методологические и эвристические роли, постоянно витает, говоря словами К. Поппера, интуитивная идея, суть которой в том, что утверждения или теории говорят тем больше, чем больше или запрещают или исключают См. Овчинников Н. Ф. Знание - болевой нерв философской мысли Вопросы философии. 2001 2, С. 124-151. Цит. там же. С. 145 Специально же тема позитивного запретительного значения теорем Геделя рассматривается А.Н.Паршиным См. Паршин А.Н. Размышления над теоремой Геделя Вопросы философии. 2000. 6. С. 92-109. Также отмечая позитивную методологическую роль запретов закон сохранения энергии, ограниченность скорости света в теории относительности, принцип неопределенности Гейзенберга и др Паршин делает следующий вывод.

Согласно Геделю, если мы хотим формализовать истину, мы не сможем этого сделать ни на каком данном этапе и будем только гнаться за формализацией.

Следовательно, мы имеем дело с фактом расширения построенной нами формализованной системы.

Поэтому можно формализовать некий добытый результат, но для добывания новых результатов необходимо раз за разом уходить от полученного формализма. Высокую оценку открытию Геделя дает фон Нейман, один из лидеров формалистского направления. Вклад Геделя в логику поистине фундаментален. Это больше, чем монумент. Это веха, разделяющая две эпохи, ибо открытие Геделя изменило предмет логики как науки. Более того, выводы Геделя имеют не только логическое и не только общенаучное значение, но и, как считают исследователи, они открывают возможность постижения природы человеческой мысли и даже самой жизнедеятельности.

Так, А. Паршин пишет Теорема Геделя показывает не просто ограниченность логических средств, она говорит о каком-то фундаментальном, глубинном свойстве мышления и, может быть, жизни вообще Паршин А.Н. Размышления над теоремой Геделя Вопросы философии. 2000. 6. С. 94 Заключение Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения.

Вместе с тем каждое, внося что-то свое верно раскрыло определенные стороны математики, продвинуло понимание науки в ее основаниях. Логицизм разработал и практически применил эффективный и не только для математики аппарат символической логики как вспомогательный прием анализа математического содержания. Характеризуя движение от традиционной формальной логики к математической, явившейся современным этапом ее развития, Г. Рейхенбах отмечал следующее.

Простые операции в логике доступны выражению и без посредства символических оформлений. Однако состав сложных отношений уже невыразим. Введение символов позволило элиминировать специфические значения слов и обнажить общую структуру, которая соединяет их, расставляя по своим позициям соответственно универсальным отношениям. Стоит особо отметить разработку логицизмом теории типов. Применение ее идей в анализе какой-либо области знания дает возможность провести четкую стратификацию области по уровням используемых понятий.

Одним словом, все это позволило уточнить математические понятия, выявить их отношения, дать систематическое изложение логических процедур, в рамках которых протекает математическое рассуждение Обогащение было взаимным логика стала более математической, а математика - более логической Рассел. Френкель и Бар-Хиллел писали Резко разграничивать математику которая сама по себе, конечно, хороша и логику которой каждый здравомыслящий математик должен ради блага своей души избегать по меньшей мере бесполезно математика постоянно использует логику, хотя это использование зачастую замаскировано и явно не учитывается. Френкель А Бар-Хиллел И. Основвания математики.

М. Мир, 1966. С. 64 Утверждение нового аппарата анализа содействовало прогрессу математики. Интуиционистское и конструктивное направления выявили иные возможности построения математических объектов, приоткрыв дверь в новые сферы математического мышления.

Утверждается генетический метод задания теории, объекты которой принимаются как порождаемые, конструируемые в определенном порядке их исходных. Дается индуктивное в отличие от дедукции определение. Следует подчеркнуть неоценимое значение разработок понятия алгоритма и теории доказательств. Особенно эффективными явились идеи конструктивной ветви течения, существенно уточнившие методы построения объектов. Причем, эти методы не противоречат аксиоматическим.

Дело в том, что аксиоматическое построение применимо к областям, имеющим развитые конкретные теории, путем обобщения которых и можно создать аксиоматику. Специалисты предсказывают интуиционистскому движению большое будущее. Так, Г. Ивс и К.В. Ньюсом отмечали, что интуиционистская математика является пока менее мощной по сравнению с классической. Ее построения более трудоемки и громоздки, потому многое из того, что дано большинству математиков, приносится в жертву. Однако ситуация может измениться, поскольку разрабатываются новые методы интуиционистского построения математики.

Привлекает и то, что интуиционистский метод не может привести к противоречиям См. Ивс Г Ньюсом К.В. О математической логике и философии математики. М. Знание, 1968. С. 41 С успехами интуиционистского направления связано развитие дискретной математики, поскольку она опирается на дискретные операции, которые разрабатываются на базе идеи конструктивного построения объекта. В свою очередь, это вместе с развитием математической логики содействовало успеху в конструировании электронно-вычислительных машин, вообще, повлекло возможность расширения применений математики и математизацию таких сфер, как лингвистика, экономика, медицина, педагогика и психология, теория искусства.

Безусловно, лидерам рассматриваемого направления наука обязана пробуждением интереса к тем аспектам математического творчества, которые обозначены в литературе как интуитивные. Внешне интуиция противостоит методам логики, строгого следования правилам логического вывода.

При более внимательном же рассмотрении обнаруживается, что обе стороны научного творчества дополняют друг друга, содействуя, каждая своими средствами, единой цели поиска истины. Вместе с тем это направление ценно и в своей, так сказать, негативной части. Здесь имеется в виду открытая критика классической математики, критика, которую с прежних позиций, то есть, оставаясь на почве старой математики, едва ли можно было провести столь последовательно.

Критика заставила математику задуматься о себе самой, провести рефлексию над своим содержанием, принципами, методами. Это повлекло к более углубленному анализу природы науки, заставило быть более точным. В связи с этим Г. Вейль заметил, что под ударами Брауэра и его последователей многое казавшееся ранее бесспорным, было поставлено под сомнение, и математик со скорбью смотрел на то, как словно туман расплывалась большая часть его высоко вознесшихся теорий Вейль Г. О философии математики.

С. 26 На эту сторону деятельности интуиционистов обращал внимание также и Д. Гильберт. Наконец, формализм. Его усилиями развита новая область математического метода - метаматематика и еще шире - заложены идеи метатеоретического знания. Когда А. Гильберт, формализуя аксиоматическое построение, ввел в качестве исходных объекты, лишенные какого бы то ни было конкретного содержания и в данном отношении бессмысленные, этим еще не исключалась возможность формулировать о таких объектах содержательные высказывания.

То, что символы не несут семантической нагрузки - лишь абстрактная иллюстрация системы. Однако ее структура поддается описанию на обычном, содержательном языке. Мы можем строить предложения о конфигурации знаков, фиксировать простоту, минимальность, симметричность строк формул и т.п. Подобного рода высказывания о ненаполненных смыслом объектах формализованной математики принадлежат уже не ей самой, а метаматематике, то есть теории, в которой говорим о математических терминах и высказываниях.

Гильберт и обосновывает метаматематику, как науку о символах системы, их упорядочении, соединении в формулы и т.д. Значение этого метода шагнуло далеко за рамки математики. Стали различать вообще объектный язык на нем ведется рассуждение в рамках данного предмета и метаязык на нем рассуждают об объектном языке, соответственно теорию совокупность высказываний о предмете исследования и метатеорию система рассуждений о данной теории. С успехами формалистского направления связан также развитие аксиоматического метода. Впрочем, здесь обнаруживается взаимосвязь чтобы стать доступной для анализа в метаматематике, математика должна быть аксиоматизирована.

На примере формализованной аксиоматики было показано, что важным в подобных построениях является выделение структуры системы, то есть совокупности отношений, в которые поставлены объекты, в то время как природа самих объектов остается неопределенной. Требуется лишь, чтобы объекты удовлетворяли выделенным отношениям. Этим формализм обратил внимание на необходимость уточнения математических отношений, как бы обнажая их. Вообще, методы формализма также содействуют выявлению более точных оснований, на которых покоится математическое рассуждение.

В этом смысле формализм явился продолжением дела логицистов. Здесь необходимо обратить внимание на следующее. В связи с доказательством К. Геделем своих теорем может возникнуть сомнение в надежности методов формализации и идей формалистского направления в целом.

Однако теоремы Геделя не отвергают полностью того, что сделано представителями этого течения. Теоремы утверждают лишь невозможность абсолютно полной формализации теоретической системы, но они не налагают ограничений на варианты сколь угодно возможной формализации таких систем. Как отмечает Н. Бурбаки, теорема Геделя не полностью закрывает двери дальнейшим попыткам доказать непротиворечивость при условии отказа хотя бы частичного от ограничений Гильберта, касающихся финитных процессов Бурбаки Н. Очерки по истории математики.

М 1963. С. 183 Таковы главные результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Каждое из рассмотренных направлений вносит некие специфические идеи и методы в обоснование, раскрывая новые стороны монументального здания математики. Поэтому, решая проблему, надо действовать не разрозненными тем более находящимися в состоянии вражды, а общими усилиями. Использованная литература 1. Беляев Е. А Перминов В. Я. Философские и методологические проблемы математики Издательство Московского Университета, 1981 2. Гайденко П.П. Греческая философия в ее вязи с наукой М 2002 3. Сухотин А. К. Философия математики Internet.