Интуитивистская альтернатива. Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике в несовершенстве ее аппарат, а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего - понятия бесконечности.
Первично математическое мышление, а язык и логика суть несовершенные способы его выражения.
Достичь точности и должна помочь интуиция. Необходимо, чтобы все построения опирались только на те утверждения, которые санкционированы изначальной интуицией. Материал, из которого созидаются математические объекты, не является собственно математическим. Это актуально переживаемое. Оно очищено от всего, берется лишь сам акт восприятия. Изначальная интуиция - деятельность, связанная с глубинным ощущением времени.
Идея выводить число на основе времени восходит еще к Канту. Человеку всегда дано нечто переживаемое. В качестве элементарного акта мысленных построений интуиционизм рассматривает разделение моментов жизни на качественно различные части, которые, будучи разъединены лишь временем, могут быть снова объединены. В силу сменяемости и последовательности событий, мы, воспринимая некоторый объект, можем говорить о следующем за ним объекте. Одновременно происходит очищение разделения переживаемого от какого бы то ни было эмоционального содержания до момента, пока не останется интуиция абстрактного двуединства. Два в одном - это и есть базисная интуиция Я. Брауэра.
Отметим, что к аналогичному представлению подошел также известный немецкий ученый Г. Гельмгольц, предвосхитив интуиционистское понимание происхождения чисел. Стоит особо подчеркнуть тот факт, что хотя по внешним описаниям рассуждения интуиционистов по поводу возникновения числового ряда кажутся построенными на механическом повторе восприятия, на самом деле они, вводя интуицию, пытались уйти от автоматизма, скорее характерного для строго логического мышления и сторонников логицизма.
Математическая традиция, на которую опирались логицисты, исповедовала математику чистых количеств, которая легла опорой математического естествознания. Интуиционизм же, нащупывал выход к другим основаниям, в истоках которых находится, как выражались иные, математика качеств. Она связана не со сложением механическим повторением, а с операцией деления, когда два является не внешним повторением одного, а внутренним результатом его саморасщепления.
Подобное раздвоение единого таит начала бесконечного числа. Это хорошо иллюстрирует схема Эрнста Бинделя. В ряду справа - операции механического мышления n 1, в столбце слева - акты человеческого мышления 1 n. Если правый ряд отрицает левый, то левый органически содержит в себе правый как один из моментов анализа. Итак, первичные математические объекты постулируются на основе интуиции.
Другим важным пунктом интуиционистской программы был пересмотр принципов конструирования систем математических объектов. Брауэр полагал, что они должны формироваться на базе некоторых принципов построения, но не вводиться в математический обиход с самого начала целиком, как множества, отвечающие требованиям заданных аксиом. Все это существенно меняло подход к обоснованию математики. Для логицизма математический объект существует, если его определение не приводит к противоречию.
С точки же зрения интуиционизма существование объекта оправдано, если он задан эффективным определением, указывающим способ алгоритм построения. Наиболее адекватно отвечают этому генетические, фиксирующие происхождение объекта, определения. Разъясняя смысл интуиционистского подхода, Вейль пишет Для математика совершенно безразлично, что такое окружность, для него принципиально знать, каким образом может быть задана окружность. То есть не суть важно, что собой представляет окружность, каково ее математическое содержание, имеет значение лишь способ, каким она может быть построена.
По идее логицистов, все производные понятия дедуцируются из исходных, здесь же понятия рассматриваются не как выводимые, а как порождаемые в некотором определенном порядке. Налицо генетический вместо аксиоматического метод построения теории, вместо дедукции - конструкция Следует заметить, что интуиционистские теории так же могут быть изложены аксиоматически и это сильнейший аргумент в пользу интуиционизма, здесь используются другие методы.
Соответственно в аксиоматике исходным является система высказываний, описывающая некоторую область объектов, и система логических действий над ними. Важны отношения, устанавливаемые между объектами, тогда как последние могут обладать любой природой получать самую различную интерпретацию. При генетическом же построении исходными являются не высказывания, а наличные, данные объекты, которые вводятся остенсивно, то есть путем прямого указания на объект, и уточняются индуктивными определениями.
В свете новых идей пересматриваются интуиционизмом и логические принципы. Абстракция потенциальной не актуальной осуществимости предполагает, что элементы бесконечного множества не могут быть заданы одновременно, они последовательно возникают в процессе его построения. Это становящаяся бесконечность, не имеющая последнего члена, ибо после n шагов всегда можно сделать n 1 -ый шаг. Так, вместо актуальной бесконечности принимаемой логицизмом и традиционной математикой, вводится понятие потенциальной бесконечности.
Ультраинтуиционистское течение одним из представителей которого является выдворенный в свое время из СССР сын поэта Сергея Есенина А. Есенин-Вольпин, отказывается не только от актуальной, но и от потенциальной бесконечности, признавая лишь конечные множества - концепция откровенной точки зрения. В соответствии с этим подвергаются уточнению понятия всеобщности и квантора общности. Математические высказывания, содержащие выражения все, каждый и т.п принимаются, только если указан способ их получения.
В частности, нельзя говорить о всех, но о каждом можно. Особое внимание уделяется закону исключенного третьего. Утверждается, что принципы классической логики не имеют абсолютной приложимости, не зависящей от содержания предмета обсуждения. В частности, закон исключенного третьего, сохраняя силу для конечных множеств, утрачивает ее в области потенциально бесконечного, как незавершенного бесконечного.
В связи с этим интуиционизм не приемлет и метода доказательства от противного, поскольку оно покоится на законе исключенного третьего. Критические выступления против классической логики заставили интуиционистов разработать новые, уточненные принципы логики. Первое интуиционистское исчисление построил Гейтинг в 1930 г. Для самих интуиционистов исчисление не представляло интереса, зато другие математики получили, наконец, возможность познакомиться с новой логической системой.
Тут же были предприняты попытки ее анализа. Первым, кто получил результаты, стал отечественный математик А.Н. Колмогоров, который показал, что гейтинговское исчисление поддается интерпретации в терминах классической логики как исчисление проблем задач. При этом, оставляя понятия проблема и ее решение неопределенными как это и делается обычно, интуиционизм ставит в соответствие конъюнкции решение двух проблем, дизъюнкции - хотя бы одной из двух, импликации - сведение решения одной проблемы к решению другой.
Интуиционистская логика оказывается здесь частью классической. Вместе с тем есть и другие интерпретации, где, наоборот, классическая логика переводима в интуиционистскую. 5.1