Ограниченность интуиционизма. Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение. Поскольку изначальной реальностью здесь выступает восприятие, нечто непосредственно интуитивно постигаемое и лишенное эмпирически достоверного, то математические объекты считаются полученными независимо от чего-либо внешнего разуму, являются свидетельствами интеллигибельного мира. Как заявляет, например, Г. Вейль, числа суть вольные творения духа Вейль Г. О философии математики.
М.Л 1934. С. 52. Делается вывод об отрицании объективности математического знания. Отсюда математическая теорема, по Гейтингу чисто эмпирический факт, именно успех некоторого построения, а сама математика есть изучение некоторых функций человеческого мозга.
Реализуя принципы потенциальной бесконечности, интуиционисты акцентируют внимание на процессах построения объектов вместо его результата. Принимается, например, закон построения чисел, а не их совокупность. Важно, не что получить, а как получить. Следовательно, существовать, значит, быть построенным. Математика объявляется не теорией, но родом деятельности, сводится до операционализма, ибо, де, записанные на бумаге результаты, знаки суть вторичное, первично же само их конструирование.
Наконец, пересмотру роли закона исключенного третьего так же соответствует известная философская платформа. Поскольку мы не можем знать, обладает некоторый элемент бесконечного множества заданным свойством или не обладает, то объективной истины нет. То, что мы называем истиной, суть творение мысли. Истина возникает в момент, когда удается данный элемент построить. Заметим, что здесь интуиционизм смещает проблему с вопроса об истине к вопросу о способах ее верификации.
Из того, что мы не в силах проверить на истинность какое-либо утверждение например, есть ли жизнь на других планетах, это утверждение не перестает быть либо истинным, либо ложным. Интуиционистское неприятие закона исключенного третьего вызвало особо острую критику со стороны математиков, и не только тех, кто разделял идеи логицизма. Ибо затрагивался фундаментальный принцип математики, более того, дело касалось логической основы самого человеческого мышления.
По отмеченному поводу Д. Гильберт заявлял отнять у математиков этот закон все равно, что забрать у астронома телескоп или запретить боксеру пользоваться кулаками. Поэтому, резюмирует Гильберт Запрещение теорем существования и закона исключенного третьего равносильно отказу от математической науки Гильберт Д. Основания геометрии. М Л 1948. С. 383 Преувеличенно-субъективные установки интуиционистов проявились и в полном игнорировании роли практической деятельности в оценке математических построений. Конечно, математика весьма далека от непосредственных примерок ее теорий к материально-производственной работе.
Однако путем ряда опосредований через естествознание, прикладную науку, технику и т.п. математическая мысль все же находит или не находит внешнее оправдание и проверку на истинность. Интуиционизм исключает вообще какие-либо подобные действия. Функцию практического критерия замещает все та же интуитивная ясность суждений. В итоге, как и логицизм, интуиционистское направление не смогло выполнить обещаний, и предложить эффективные методы обоснования математики.
Попытка осуществить демонстрацию возможности существования математического объекта, опираясь на идеи интуиционизма, успехом не увенчались. С самого начала выступлений интуиционистов возникло немало вопросов, нуждающихся в разъяснении, но так и не получивших его. Прежде всего дело касалось фундаментального понятия базисной интуиции, ссылкой на которую и демонстрировалось оправдание факта введения объектов математики.
Было заявлено о безусловной надежности актов изначальной интуиции, ее безупречной точности в качестве единицы математического мышления, благодаря чему, якобы, удается избежать неопределенностей, сопровождавших классическую математику. В итоге от математики после ее переделки остаются, по мнению ряда видных ученых, жалкие остатки в виде немногочисленных и не связанных друг с другом единичных результатов по сравнению с могучим размахом современной математики.
Не случайно Н. Бурбаки назвал интуиционизм историческим курьезом. Таким образом, интуиционизм не принес успокоения в математику. Многие ее разделы оказались в свете интуиционистских установок неприемлемыми. 5.2