Программное заявление. Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение - формализм.
Первые выступления формалистов связаны с именем крупнейшего немецкого математика Д. Гильберта и относятся к 1902-1904 гг. Но основные идеи этого направления сложились позднее в полемике с интуиционизмом. Под ударами интуиционистской критики незыблемость устоев математики была поколеблена. В двадцатые годы Гильберт, его сотрудники и соратники В. Аккерман, И. Бернайс, фон Нейман и др. приступают к математической разработке программы формализма.
В 1934 г. вышел первый том Оснований математики, в фундаменте которого лежала теория доказательства. Гильберт подверг критике оба предшествующих направления. В противовес интуиционизму он утверждал, что интуиция не может быть исходным базисом математических построений, поскольку она неопределенна, расплывчата. Одновременно Гильберт расходится и с логицистами, утверждая, что логика не предваряет математику, ибо прежде, чем оперировать по законам логики со знаками, надо эти знаки иметь, то есть располагать объектами, поддающимися логическим операциям.
Никакая наука, в том числе и математика, не может, по его мнению, быть основана только на логике. Наоборот, чтобы производить умозаключения и другие логические операции, мышлению должны быть уже предпосланы некоторые внелогические объекты, существующие наглядно. Следовательно, ни интуиция, ни логика не могут стать оправданием математики, ее базисом.
Основанием математики является, по Гильберту, сама математика, именно ее внутренняя непротиворечивость Как заметил профессор Кенигсбергер, математика принадлежит к числу тех наук, которые ясны сами по себе. Цит. по Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М Л 1937. С. 149 Но, критикуя концепцию предшественников, Гильберт берет то, по его мнению ценное, что ими было создано. Опираясь на логицизм и традицию классической математики, он восстанавливает власть закона исключенного третьего над математическим мышлением.
Не следует отказываться от этого закона, говорил Гильберт, как и от остальных законов аристотелевской логики. Вместе с законом исключенного третьего обретает прежнюю силу и правило доказательства от противного ex adverso. Это один из видов так называемого анагогического, то есть непрямого, косвенного доказательства. Положим, надо доказать тезис A. Допускаем не-A. Из этого A выводим некоторое следствие B, приводящее к противоречию.
Следовательно, B является ложным. Отсюда высказывание A B может быть истинным только если A является ложным, соответственно A есть истина. Иными словами, из ложности антитезиса вытекает истинность тезиса. В свою очередь, доказательство от противного служит опорой принятия актуальной бесконечности, также восстанавливаемой Гильбертом вместо интуиционистского принципа потенциальной бесконечности. То есть проявляется ориентация на финитные методы в противовес требованию интуиционизма, отстаивающего идею незавершаемости процедуры построения математического объекта.
С другой стороны, Гильберт принимает от интуиционистов понятие алгоритма как четко детерминированной последовательности операций мысли. Близкие контакты с конструктивизмом наметились в области теории формального доказательства, развитой Гильбертом не без учета идей конструктивной математики. Отметим в этой связи тот факт, что Гильберта относят к основателям конструктивного направления.
Теперь о программе формализма более подробно. Предлагая новое решение проблемы обоснования, Гильберт исходил из идеи, что содержательная математика не может быть логически противоречивой, иначе она вела бы к ошибкам в практической деятельности. Теория, раздираемая противоречиями, не способна вести к успеху в производственных и житейских делах. Но ссылка на практику - аргумент недостаточно корректный, поскольку математика оперирует не с вещами реального мира, а со знаками.
Следовательно, речь должна идти о противоречиях в области знаковой формы. Тем самым показатель непротиворечивости как оправдание правомерности введения математических объектов и истинности утверждений о них переводится Гильбертом из фактуально-содержательного плана в чисто формальный план, из сферы гносеологии в область логики, от семантики к синтаксису. То есть надо доказать внутреннюю непротиворечивость математики, в чем и лежит ключ к ее обоснованию. Итак, в качестве исходной и единственной реальности, с которой имеет дело математика, являются, по мнению Гильберта, знаки.
Речь идет у Гильберта о внутриматематичском языке, об отношении знака к знаку, а не о том, какова связь математических объектов с внешней реальностью, каковы механизмы абстрагирования, эмпирической обработки чувственно данного, которые приводят к появлению символики. Символы взяты в качестве математической реальности после того, как они были извлечены из действительной реальности.
То есть это очищенные от какого-либо конкретного содержания знаки Г. Вейль вспоминает На одном математическом заседании в 1891 г. при обсуждении доклада Г. Викера Гильберт бросил реплику Надо, чтобы такие слова, как точка, прямая, плоскость, во всех предложениях геометрии можно было заменить, например, словами стол, стул, пивная кружка. См. Вейль Г. Математическое мышление. М. Наука, 1989. С. 237 Оперируя со знаками, вычисляя, комбинируя и т.п математик забывает о предметах природы, которые они могут представлять.
Также, принимая методы обоснования математики, можем отвлечься, говоря современным языком, от семантики знаков, рассматривать их как самостоятельную реальность, точнее, искусственно созданную человеком, но после создания отчужденную, и от нас, создателей, уже не зависящую, поскольку знакам вменяется в обязанность функционировать по заранее принятым правилам преобразования одной знаковой последовательности в другую. Этим достигается полная строгость и ясность.
Отвлечение от содержательных аспектов знака, по Гильберту, совершенно необходимо. В противном случае математика утратит характер достоверного и абсолютного знания, ибо, предваряя посылки, мы переходим в область проблематичного различие во мнениях как раз покоится на различии предпосылок 110. Отвлекаясь от содержательного момента знаков, переходим в сферу формализованного исчисления. Итак, знаки очищены от семантики. Однако это пока не доказательство обоснованности математических построений.
Простое декларирование математических знаков последней для математики реальностью еще не делает эти знаки эквивалентными предметам действительности. Гильберт ищет дополнительные условия. Ими и провозглашается требование непротиворечивости, которое регулирует поведение знаков. Непротиворечивость есть внутриматематический аналог критерия практики, используемого в естествознании111. 6.1