Второй кризис основания математики Проблема обоснования дифференциального исчисления. В эпоху средневековья философия математики не вышла за рамки пифагореизма в его платонистской и неоплатонистской интерпретации.
Лишь в XIV-XV вв. в Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Следующие два столетия ознаменовались появлением и развитием совершенно новых математических идей, которые сегодня относятся к дифференциальному и интегральному исчислению. Новые идеи возникли в связи с потребностями науки, в особенности механики, и это обстоятельство предопределило появление принципиально новой философии математики.
Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытное, зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей. Эта философская установка предопределила в свою очередь конкретное методологическое мышление, ярко проявившееся в сфере обоснования дифференциального и интегрального исчислений. Ученые XVIII в. Лейбниц, Эйлер, Ньютон, Лагранж и другие требовали от математики так называемой греческой строгости древних, под которой прежде всего понимался метод, применяемый Евклидом в его Началах - метод выведения одних положений из других, зафиксированных в аксиомах и определениях и только из них Сегодня очевидно, что античные математики Евклид, Платон, Аристотель и другие не осуществили указанного идеала например, не все аксиомы, необходимые для строгого развития математики, были сформулированы в то время, но несомненно то, что они имели правильную идею математического доказательства, строгого отделения математически доказанного от очевидного, отделения точного от приближенного.
Такой идеал математики был принят и в XVIII в однако математикам прошлось осознанно отступить от него, и прежде всего создателям дифференциального исчисления Ньютону и Лейбницу.
В работах математиков XVII в. Кеплер, Кавальери, Ферма, Барроу и другие различными частными методами были решены многочисленные задачи, сегодня относимые к дифференциальному и интегральному исчислению - нахождение площадей криволинейных фигур, проведение касательной к произвольной кривой, нахождение максимумов и минимумов элементарных функций и т. д. Г. В. Лейбниц и И. Ньютон завершили эту работу созданием одного ! алгоритма решения всех, на первый взгляд, различных задач.
Однако, будучи принятым, этот алгоритм подвергся критике за неясность основных понятий. Основным же понятием теории Лейбница было понятие дифференциала, или бесконечно малого приращения функции. Пусть дана функция y f x. Если увеличить ее аргумент x на некоторую величину h, то получим приращение функции dy f x h -f x. Для Лейбница dy0, но вместе с тем эта величина столь мала, что, умножние ее на любое конечное число не даст конечной величины.
В своем определении таким образом Лейбниц проводил чуждую элементарной математике и вообще здравому смыслу идею неархимедовой величины Согласно аксиоме Архимеда, для любых двух величин a и b найдется такое целое N, что a N b Эта идея, однако, была необходима Лейбницу для оправдания предлагаемого им способа вычисления дифференциала.
Пусть, к примеру, дана функция y x2. Пусть x получает приращение dx, тогда y dy x dx 2 x2 2x dx dx2, откуда dy 2x dx dx2. Величину dx2 Лейбниц предлагает отбрасывать как несравненно малую по отношению к величине 2x dx. В результате dy 2x dx - правильный результат! Эта процедура является, очевидно, противоречивой. Если допустить, что dx 0, то очевидно, что и dy будет равно нулю из исходного равенства. Но если dx0, то, не нарушая строгости нельзя отбросить dx2. Рассуждения Лейбница о несравненно малых величинах были попыткой как-то оправдать такой способ действия.
Практика, однако, показывала что стало основным аргументом за принятие алгоритма в целом, что если придерживаться правила отбрасывать в разложении y dy все члены, содержащие dx в степени выше первой, то с помощью таким образом определенного понятия дифференциала можно получать точные ответы в широком классе задач. Так как интегрирование обратно дифференцированию, то, например, площадь фигуры, ограничивающая линия которой есть некоторая функция, может быть найдена как некоторое значение первообразной функции от данной.
Таким образом, алгоритм Лейбница - универсальный метод вычисления площадей и объемов различных фигур, метод, несводимый к методам традиционной геометрии. Алгоритм Ньютона, в свою очередь, базировался на понятии флюксии производной - в современной терминологии и обладал той же самой противоречивостью. При отыскании флюксии Ньютон также отбрасывал члены, заведомо не равные нулю хотя он считал, что в математике нельзя пренебрегать никакими количествами, даже самыми малыми. Противоречивость алгоритмов дифференциального исчисления, несогласие их с представлениями о математической строгости, было очевидным для большинства математиков XVIII в. Однако, это исчисление находило все новые приложения в механике и астрономии, превращаясь в центральную и наиболее продуктивную часть математического здания.
Проблема же обоснования дифференциального исчисления становилась все более актуальной.
Логически обоснована та система понятий, которая достигла определенной степени зрелости, богатства содержания и однозначности в фундаментальных определениях. Дифференциальное исчисление как теория находилась в то время на стадии отыскания основных закономерностей и определения фундаментальных понятий, потому его логическое обоснование объективно было невозможным Вплоть до начала XIX в. в самом содержании анализа, в его понятийной системе имелись изъяны, фактически исключающие его обоснование.
Основные из них следующие 1. Отсутствие правильного понимания дифференциала. Лейбниц, Лопиталь Эйлер и другие математики первой половины XVIII в. отождествляли дифференциал с приращением функции, что и приводило к парадоксальности исчисления. Четкое разделение приращения функции и ее дифференциала было проведено Лагранжем в 1765 г. 2. Отсутствие достаточно общего понимания функции. Фактически вплоть до конца XIX в. под функцией математики понимали только аналитическую функцию, которая отвечала некоторой механической или геометрической зависимости и выражалась определенной алгебраической формулой Здесь речь идет о фактическом, рабочем понимании функции, но не об определениях.
У Эйлера и других математиков XVIII в. можно найти современное определение функции, которым, однако, не придавался статус именно общих, поэтому они не оказали влияния на практическую методологию Узкое, привязанное к наглядности понимание математиками функции мешало им при их стремлении к строгости придать должное значение формальным определениям основных понятий, лежащих в основе исчисления. Лишь введение разрывных функций, выход за пределы традиционных объектов, заставил математиков обратить внимание на логическое оформление понятий анализа и отбросить альтернативу его элементарного обоснования Расширение понятия функции отсеяло иллюзорные альтернативы и выделило метод пределов как единственно возможный 3. Отсутствие строгого определения предела.
Предел определялся не строго, а скорее содержательно описывался на основе механических и геометрических примеров, часто с привлечением понятий, не имеющих отношения к делу понятия времени, например. Кроме того, предел понимался узко вследствие узкого понимания функции.
Неясность в понимании предела осталась вплоть до Коши. 4. Одно из центральных понятий в современных основаниях анализа понятие непрерывности функции - долгое время присутствовало в математике лишь интуитивно. Это объясняется тем, что математики XVIII в. все функции мыслили как непрерывные и потому не возникало проблемы выделения, ради чего обычно уточняются понятия.
Только в начале XIX в. с введением в математику разрывных функций непрерывность была определена в современном смысле, на базе понятия предела. 5.До конца XVIII в. оставалось недостаточно строгим понятие определенного интеграла. Эта нестрогость была связана прежде всего с отсутствием теорем существования. По аналогии с элементарной алгеброй считалось, что формула Ньютона - Лейбница для вычисления определенного интеграла справедлива для всех функций и при всех условиях.
Однако позже она оказалась неприемлемой для разрывных функций, к тому же в ряде случаев не давала однозначного результата. Исследования Лакруа, Пуассона и Коши в области уточнения понятия определенного интеграла показали важность теорем существования, выдвинули на первый план понятие предела и непрерывности, таким образом они заложили фундамент правильного построения логических основ дифференциального и интегрального исчисления.
Итак, движение математического анализа в XVIII в. к обоснованию можно описать в системе теория - приложение, т. е. как диалектическое взаимодействие двух этих моментов. Необходимость вычисления площадей фигур с произвольной границей и т. д. привело к открытию алгоритмов дифференциального исчисления. Приложение этих алгоритмов к новым задачам необходимо заставило обобщить и уточнить исходные понятия и сделать более строгими сами алгоритмы.
В конечном итоге анализ сформировался как логически непротиворечивая, относительно замкнутая и полная понятийная система. Однако эта картина при своей верности оказалась еще не полной, ибо сами математические затруднения и заблуждения поддерживались и закреплялись определенной методологией, которая в свою очередь была обусловлена определенной философией математики. Математики отказались от ряда философских и методологических предрассудков, прежде чем правильно сформулировать задачу обоснования дифференциального исчисления. 2.1