Метафизическое обоснование бесконечно малых. Метафизическое или натурфилософское обоснование в науке состоит в стремлении вывести те или иные ее закономерности из некоторых фундаментальных свойств природы.
Примером метафизической аргументации в физике может служить принятое до опытов Торичелли объяснение действия гидравлического насоса из принципа природа не любит пустоты. В XVII в. еще крепко было убеждение, что философия - верховная наука и все частные законы должны быть получены или выведены из общих представлений о материи, пространстве и т. д. Такая тенденция проявилась и в обосновании анализа на первой стадии его развития, в частности у Г. Лейбница.
Для оправдания идеи бесконечно малой, но не равной нулю величины Лейбниц использовал первоначально физические аналогии. Различные порядки бесконечно малых по Лейбницу следует понимать в том же смысле, в каком земной шар мыслится по сравнению с расстоянием до неподвижных звезд, шарик в руках мыслится как точка по сравнению с полудиаметром земного шара, и тогда расстояние от неподвижных звезд есть бесконечность бесконечности по отношению к диаметру шара. Однако математики, как впрочем и сам Лейбниц понимали, что допущение хоть и малой, но конечной величины ведет к неточности результатов дифференциального исчисления.
В последующих работах Лейбниц ведет более тонкое обоснование бесконечно малых, основанное на противопоставлении реальных и идеальных величин, а также на законе непрерывности.
Бесконечно малую величину Лейбниц уже предлагает мыслить как идеальное понятие и приводит пример такого мышления в области комплексных чисел мнимые числа вроде несмотря на то, что их называют мнимыми, не перестают быть полезными и необходимыми Избранные отрывки из математических сочинений Г. В. Лейбница УМН, 1948, т. 3, вып. 1 83 , с. 192. Лейбниц предвосхищает здесь одну из самых влиятельных идей в последующей философии математики - идею фиктивных или идеальных элементов в структуре математического знания, вплотную подходя таким образом к современному пониманию математического понятия как элемента оперативной системы, но его обоснование идет не в логическом, а в натурфилософском плане.
Идеальные элементы для него скорее платоновские идеи, имеющие основание в вещах, связанные с реальными сущностями посредством закона непрерывности - свойства реального необходимо переходят в свойства идеального, и наоборот.
Идеальные элементы не даются в опыте, но выражают некоторую глубинную основу вещей, введение их необходимо для существования самой науки. Принцип непрерывности используется Лейбницем и в качестве онтологического основания операции предельного перехода. Общефилософский принцип непрерывности - природа не делает скачков в сфере математики и физики Лейбниц преобразовывает в некоторое правило, родственное современному принципу соответствия. Согласно этому закону движение непрерывно должно переходить в законы покоя, неравенство есть частный случай неравенства, свойства многоугольников должны непрерывно переходить в свойства кривых. Лейбниц пишет неверно, что покой есть род движения равенство род неравенства, круг есть род правильного многоугольника, но покой, равенство и круг заканчивают движение, неравенство и правильные многоугольники, которые переходят в них, исчезая в непрерывном движении Избранные отрывки из математических сочинений Г. В. Лейбница УМН, 1948, т. 3, вып. 1 83 , с. 196 Здесь легко узнаваемы идея предельного перехода и общее представление о непрерывности функции, хотя разъяснение их ведется Лейбницем с натурфилософской позиции.
Натурфилософские идеи присущи и работам Эйлера, но уже в иной роли. Эйлер отвергает лейбницевское понятие несравненной величины, отвергает его и его последователей объяснительные физические аналогии.
Эйлер, в отличие от других обращает внимание на различие арифметического и геометрического отношения нулей.
Разность двух нулей равна нулю, но отношение может быть равно любому числу, и это число зависит от качества тех функций, которые находятся в отношении и приближаются к нулю в своей численной величине. Эйлер, несомненно, более близок к канонам современной математической строгости, чем Ньютон и Лейбниц. Он опирается на аналитическое доказательство не привлекая механических или геометрических аналогий. Но отказ от натурфилософии у Эйлера неполный. Он критикует не натурфилософское обоснование вообще, а лишь натурфилософию Лейбница и Вольфа.
Его пространные рассуждения о делимости материи и о бесконечности мира в специальных математических работах говорят об отсутствии понимания Эйлером математического объекта как логической конструкции. Итак, математики XVIII в. не проводили в достаточной мере различие математического и физического существования. Здесь можно отметить также позиции Канта и Гегеля. В своей работе Опыт введения в философию отрицательных величин Кант осуществляет чисто метафизический подход к обоснованию математических операций - действия с отрицательными числами он объясняет исходя из утверждения о реальной сущности отрицания.
Гегель в своей Науке логики бесконечно малые в математике связывает с категориями бытия и ничто, в соответствие с этим бесконечно малые могут одновременно существовать и не существовать. Таким образом, возникшее в математике противоречие есть нечто нормальное и неустранимое с очки зрения формальной логики, вытекающее из диалектической сущности вещей.
Следует отметить, что при Гегеле основное противоречие в алгоритме дифференцирования dx приходилось считать то неравным, то равным нулю уже было устранено работами Эйлера, Д Аламбера и Лагранжа, которые оставались на позициях формальной логики. 2.2