Физическая и геометрическая аргументация. Итак, отказ от метафизики в разработке конкретных научных проблем, продемонстрированный в работах Ньютона, Д Аламбера, Лагранжа, Карно и других вернул математике утраченную строгость, освободил ее от внешнего оправдания исходных правил.
Однако сдвиг в обосновании анализа задерживали заблуждения методологического порядка. Наиболее значительное заблуждение состояло в том, что математика в своем обосновании тесно связана с механикой. Ньютон, Маклорен, Тейлор рассматривали дифференциальное исчисление не как учение о функции, но как часть учения о движении, как теоретическую кинематику. Однако, хотя Ньютон и отличает физическую задачу от ее математического оформления, его математический аппарат четко ориентируется на одну эмпирическую интерпретацию со всеми вытекающими отсюда ограничениями. Новая позиция, что дифференциальное исчисление не должно всецело ориентироваться на механику и что математика не может быть обоснована через механические понятия, а скорее наоборот, была явно высказана Лагранжем.
Именно Лагранж признал рассматривать дифференциальное как логически фундаментальную теорию без привлечения механики и эмпирических предпосылок вообще.
Признание автономии понятия анализа от представления механики - выдающееся методологическое достижение математики XVIII века. Однако эта автономия рассматривалась ограниченно, ибо геометрия оставалась эмпирической наукой. Все математики того времени ссылались на геометрические представления в процессе математического доказательства, что отчасти можно объяснить авторитетом Начал Евклида. Развернутая критика как физических, так и геометрических аналогий в математике была дана в начале XIX в. чешским философом и математиком Б. Больцано.
В результате критики геометрии как базы анализа задача обоснования дифференциального исчисления стала однозначно определенной. В математике в начале XIX в таким образом, появилось новое отношение к объектам дифференциального исчисления и к строгости математического доказательства вообще. О. Коши дал в своей работе Алгебраический анализ 1821 г. строго логическое развитие идей дифференциального исчисления, опираясь на понятие предела и операции над действительными числами.
Аналитические доказательства Коши представляют установление нового, более высокого стандарта той греческой строгости, к которой стремились математики XVIII в. Итак, главными философскими линиями в математике XVIII в. были натурфилософия и эмпиризм. В обоих случаях делалась попытка обосновать математику, внутреннюю логику ее понятий, прямой ссылкой на нечто внешнее, на тот или иной тип представлений о реальности, игнорировалась также сущность математических понятий, специфика математического существования. 3