Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в. Философские дискуссии в математике XIX в. были связаны в основном с развитием геометрии, а именно с истолкованием неевклидовых геометрий.
В области математического анализа также возникли принципиальные трудности, но до конца XIX в. они казались легко устранимыми и некоторые из них, действительно, были устранены. Неевклидовы геометрии были фактом совсем другого рода. Вопрос о природе математического знания возник в связи с ними снова и не менее остро, чем в предыдущем столетии, в связи с обоснованием исчисления бесконечно малых.
II февраля 1826 г. профессор Казанского университета Н, И. Лобачевского представил ученому совету физико-математического факультета доклад с изложением основ новой геометрии. Главная идея его состояла в том, что аксиома Евклида о параллельных независима от других аксиом евклидовой геометрии невыводима из них и, следовательно, возможно построить другую геометрию, столь же непротиворечивую, как и евклидова, если в евклидовой геометрии заменить аксиому о параллельных на противоположное утверждение. В последующие годы Лобачевский всесторонне разработал теорию новой геометрии и указал ряд ее приложений в области математического анализа.
Одновременно с Лобачевским те же идеи был развиты молодым венгерским математиком Яношем Больяи. Значение неевклидовых геометрий состоит прежде всего в том, что их построение и доказательство непротиворечивости представляет собой окончательное решение проблемы о параллельных, занимавшей математиков в течение двух тысячелетий. В дальнейшем эти геометрии нашли самые разнообразные применения в задачах самой математики и в теоретической физике.
Но не этому собственно математическому значению неевклидовы геометрии обязаны своей известностью. Они явились не только крупным событием в развитии математики XIX в но вместе с тем фактом, противоречащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природе математического знания.
Подобно тому, как открытие несоизмеримых величин поставило под удар пифагорейскую картину мира, основанную на понятии целого числа и целочисленного отношения, открытие Лобачевского и Больяи привело математиков к коренному пересмотру представлений о собственной науке, о ее функции в системе знания, о методах построения и обоснования математических теорий. Можно сказать без преувеличения, что современное понимание математики выросло из попыток осмыслить факт неевклидовых геометрий. 3.1