Основные направления философского обоснования неевклидовых геометрий в XIX в. В 1854 г. Б. Риман выдвинул концепцию n-мерных геометрических многообразий - чрезвычайно общее понимание пространства, в котором геометрия Лобачевского - Больяи заняла определенное место как трехмерная геометрия с отрицательной кривизной.
Тем самым эта геометрия становится узаконенной, необходимой частью математики при ее систематическом развитии.
В 1868 г. Е. Бельтрами, занимаясь геометрией кривых поверхностей, нашел поверхность с отрицательной кривизной псевдосферу, внутренняя геометрия которой оказалась совпадающей с планиметрией Лобачевского.
Основной вопрос относительно геометрии Лобачевского-Больяи - вопрос о ее внутренней непротиворечивости - был в значительной мере разрешен. Несколько позднее А. Пуанкаре, С. Ли, Л. Кронекер начали использовать неевклидовы геометрии как эффективный аппарат для решения различных задач в теории функции и других областях математики.
Сам принцип построения новой математической теории через изъятие и замену аксиом, примененный при создании неевклидовых геометрий, был положен в основу исследований по основаниям математики, которые к концу XIX в. стали превращаться в особую, все более важную область математических исследований. Можно сказать, что к 80-м гг. XIX в. собственно математическое значение неевклидовых геометрий было вполне осознано. Философское понимание новой геометрии не сделало, однако, к этому времени сколько-нибудь существенного шага вперед.
История признания неевклидовых геометрий в XIX в. является одним из наиболее ярких примеров отставания философской концепции науки от роста ее содержания. Признание этих геометрий, совершившееся под давлением внутренних потребностей математики, поставило перед философией математики вопросы, на которые долгое время не удавалось найти сколько-нибудь удовлетворительного ответа. Основные из них следующие 1. Каков эмпирический статус неевклидовых геометрий? Является ли реальное пространство евклидовым? 2.Какова природа математических аксиом? Существование неевклидовых геометрий, очевидно, противоречит убеждению эмпиризма об опытном происхождении геометрических аксиом.
С другой стороны, оно противоречит и утверждению об априорном характере аксиом, так как если аксиому Евклида о параллельных считать взятой из чистого созерцания, то противоположную аксиому уже, очевидно, нельзя считать таковой. 3. В чем природа математической достоверности? Кант по-своему отвечал на этот вопрос, исходя из априорных представлений о математике.
Если же мы ставим под сомнение точку зрения Канта вообще, то вопрос о достоверности аподиктичности математики, поставленный еще в древности, очевидно требует решения на некоторой другой основе. Эти вопросы встали во всей остроте в 70-х гг. XIX в когда неевклидовы геометрии уже были признаны в математике, когда они стали фактом, требующим какого-то оправдания с точки зрения общего понимания этой науки.
Признание неевклидовых геометрий привело прежде всего к ряду попыток чисто метафизического ее истолкования. Известные последователи Канта Ф. Ланге и О. Либман выдвинули точку зрения, согласно которой неевклидовы геометрии представляют собой не что иное как возможные геометрии мира самого по себе, в то время как евклидова геометрия представляет собой геометрию чувственного восприятия, геометрию мира для нас. Другого рода натурфилософию связывал с неевклидовыми геометриями английский математик У. Клиффорд.
Реальная геометрия мира, по Клиффорду, неевклидова, и все, что происходит в мире, может быть понято как определенное изменение кривизны пространства в той или другой его части. Неевклидова геометрия приобретает у Клиффорда значение фундаментальной динамической основы мира. Большинство математиков XIX в. в попытках обоснования неевклидовых геометрий исходили из представления об опытной природе геометрических понятий. Все три создателя неевклидовой геометрии - Гаусс, Лобачевский и Больяи - выступали против априористской гносеологии и настаивали на опытном происхождении геометрических понятий.
С этих же позиций позднее стремились подойти к обоснованию неевклидовых геометрий Б. Риман, Г. Гельмгольц, Л. Больцман, Ф. Клейн и другие ученые. Гельмгольц при обосновании геометрии исходит из того, что все наши геометрические представления так или иначе опираются на измерение. Но сама возможность измерения предполагает возможность перемещения тел в пространстве без изменения их формы.
Однако это допущение, Гельмгольцу, не может быть дано apriori оно, несомненно, фиксирует наш опыт, а именно опыт обращения с твердыми телами. В мире, где не было бы твердых тел, не было бы и евклидовой геометрии. Евклидово, а также сферическое и псевдосферическое пространства допускают перемещение фигур внутри себя без изменения формы и вследствие этого являются оправданными с точки зрения опыта. Вслед за Риманом Гельмгольц склонен рассматривать неевклидовы пространства как некоторого рода гипотезы о возможных физических мирах.
В своей работе О происхождении и значении аксиом геометрии он пытается с помощью оптических аналогий сделать более осязаемым мир, в котором могла бы понадобиться геометрия Лобачевского Гельмгольц Г. О происхождении и значении геометрических аксиом Спб 1895, с. 41-50 . Л. Больцман и Ф. Клейн подходили к оправданию неевклидовых геометрий также из соображений опыта, но скорее из анализа его субъективной, психологической стороны.
По мнению Клейна, интуиция, которой Кант оправдывал существование и единственность евклидовой геометрии, представляет собой на самом деле чрезвычайно несовершенный инструмент в этом отношении. Интуиция подсказывает нам, к примеру, что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекутся друг с другом внутри треугольника, но она нам не говорит, что все они пересекутся в одной точке это может быть обосновано только логикой. Так как действительная кривизна реального пространства мало ощутима практически, то наша интуиция ничуть не в меньшей мере оправдывает неевклидову геометрию, чем евклидову Новые идеи в математике Сб.8, Спб 1914, с. 120 . Ценный момент воззрений Гельмгольца и других математиков эмпирического направления состоит в том, что они, исходя из конкретного содержания геометрии, привели сильные доводы против априоризма.
В целом, однако, эта позиция является довольно слабой, поскольку она является попыткой объяснить математическое знание, не выявляя его специфики, т. е. по существу на базе отождествления его с теоретической физикой.
С позиции Гельмгольца нельзя ответить на вопрос, является ли геометрия точной или она только приближенная наука, как физика, но это вопрос первой важности для понимания природы математики. Гельмгольц оправдывает, далее, существование сферического и псевдосферического пространств тем, что все они соответствуют опыту по крайней мере в том, что допускают движение без изменения формы.
Но тем самым геометрия ограничивается тремя указанными видами пространств, так как известно, что никакие другие варианты римановых многообразий не удовлетворяют этому требованию. Наконец, взгляд на аксиомы неевклидовой геометрии как на гипотезы о возможном мире не выдерживает критики с точки зрения логики развития науки. Если геометрия Евклида есть учение о реальном пространстве, то новая гипотеза об этом пространстве представлялась бы оправданной, если бы геометрия Евклида оказалась в каком-то пункте неудовлетворительной, расходящейся с показаниями опыта.
Но поскольку этого никогда не наблюдалось, то неевклидовы геометрии могут быть оценены только как некоторые чисто произвольные, ничем не обусловленные предположения о мире. Если же вообще допускать такие свободные гипотезы, то неясно, почему мы в физике не строим, к примеру, нефарадеевскую или немаксвелловскую теорию электричества в качестве возможной для некоторого другого мира. Очевидно, что дело здесь в некоторой специфике математики, в различном статусе математических и физических теорий по отношению к опыту, но ни Гельмгольц, ни никто другой из ученых эмпирического направления не поставил вопроса в этой плоскости.
Они прилагали все усилия к тому, чтобы найти каналы, по которым новые математические структуры могли бы быть связаны с опытом, поскольку не видели другого способа оправдать их существование как только через наличие такого рода непосредственных связей. Фактически же при таком подходе природа и значение неевклидовых геометрий оставались совершенно невыясненными.
Очевидная неспособность эмпиризма объяснить понятие абстрактных структур в математике обусловила значительное влияние в этой области кантовской философии вплоть до конца XIX в. Согласовать факт неевклидовых геометрий с философией математики Канта пытались Г.Koген, А. Краузе, Б. Рассел, Л. Нельсон, В. Майнец, П. Наторп, Е. Кассэрер и другие философы конца XIX - начала XX в. Аргументы кантианцев в целом могут быть сведены к следующей системе утверждений. 1. Противопоставление неевклидовых геометрий кантовскому учению о пространстве основано на недоразумении, на искажении сути кантовской философии математики.
Кант не ограничивал возможные геометрии, доступные человеку, только одной евклидовой геометрией. В своих первых pаботах он доказывал, что свойство трехмерности пространства непосредственно связано с действием тел друг на друга обратно пропорционально квадрату разделяющих их расстояний и что вполне возможны другие миры с другим законом сил и, как следствие, с другой размерностью пространства, т. е. с принципиально другой геометрией.
Наука обо всех этих возможных видах пространства писал Кант несомненно, представляла бы высшую геометрию, какую способен построить конечный ум Кант И. Сочинения в 6- ти томах М 1962-1965 т. 3 т. 1, с. 71 . В Критике чистого разума Кант говорит о возможности других форм чувственного восприятия для других живых существ. Нет необходимости пишет он ограничивать способ созерцания в пространстве и времени чувственностью человека Кант И. Сочинения в 6- ти томах М 1962-1965 т. 3 т. 3, с. 152 , Но это есть не что иное, как предположение существования некоторых других законов пространства, чем те, которые выражены в теоремах евклидовой геометрии.
Таким образом, Канта следует рассматривать не в антагонизме с неевклидовыми геометриями, но, напротив, скорее как одного из их теоретических предшественников, который впервые сформулировал саму идею высшей геометрий, не совпадающей с геометрией евклидовской Баух Б. Кант и его отношение к естествознанию, М 1912, с. 21-22 . 2. Утверждения Канта о возможности других пространств и других форм чувственного созерцания случайны, но вытекают необходимо из приципиальных установок его философии.
Математические утверждения для Канта не аналитические, а синтетические, а это значит, что построение других геометрий вполне согласуется с основным моментом кантовского учения о математике, так как синтетические утверждения допускают в качестве осмысленных и противоположные себе утверждения.
Построение неевклидовых геометрий - не опровержение, но блестящее подтверждение взглядов Канта на логический статус математических истин ст. Нельсона Новые идеи в математике, Сб. 8, Спб с. 14, 17-18 . 3. Попытка Гельмгольца во всех отношениях отождествить неевклидовы геометрии с евклидовой неправомерна, так как она смешивает математический, физический и психологический созерцательный аспекты в понимании пространства.
Неевклидовы геометрии равноправны с евклидовыми в математическом смысле, как математические структуры, они равноправны и в физическом смысле - они могут применяться на одинаковых правах при описании различных отношений действительности, но они никоим образом не могут быть отождествлены психологически, в плане восприятия мира. Но это основной пункт в кантовском истолковании геометрии. Кант был бы опровергнут, если бы было доказано, что, пользуясь новыми геометриями, мы способны выработать для себя новую интуицию пространства.
Но в действительности это невозможно. Во всяком случае, Гельмгольц ошибается, когда он от возможности новых логических конструкций заключает к возможности новых форм интуитивного видения мира. Факты не подтверждают этого Meinecke W. Die Bedeutung der nichteuclidsche Geometrie in ihrem Verhaltnis zu Kautz Theorie Kant-Studien, Bd XI. Berlin, 1906, с. 221 - 232 . 4. Эмпирическая трактовка математики не отличает объектов математики от объектов эмпирических наук, идеальные сущности от объектов, данных в опыте.
Эмпирическая арифметика - это арифметика камешков и пряников, эмпирическая геометрия - это геометрия чертежей и картонных фигур. Эмпирическая математика игнорирует разделение, которое совершенно ясно было проведено уже Филолаем и Платоном Баух Б. Кант и его отношение к естествознанию, М 1912, с. 25 . Эмпиризм ставит математику рядом с физикой и разбивается о факт аподиктичности математических истин. Он просто игнорирует тот факт, что математические теории не доказываются и не опровергаются опытом Новые идеи в математике, Сб. 8, Спб 1914, с. 52 . 5. Эмпирическая позиция противоречива логически.
Утверждение Гельмгольца о том, что наши представления об измерении покоятся на допущении неизменности формы тел и масштабов, содержит в себе логический круг, ибо само понятие твердого тела или тела, не изменяющего форму, предполагает уже процедуру измерения Russel B Die Einfurung in die mathematische Philosophy, Munchen, 1923, 70 . В этих аргументах сторонников кантианской философии необходимо различать несколько тенденций во-первых, здесь налицо критика эмпиризма, которую нужно признать верной во-вторых, попытка более ясного воссоздания сущности кантовской философии математики.
Это также вполне естественно любое большое открытие в науке необходимо отзывается пересмотром и уточнением существующих гносеологических теорий. Наконец, обсуждение неевклидовой геометрии стимулировалось у ряда авторов О. Либман, Г. Коген, Л. Нельсон, В. Майнеке и др. стремлением защитить гносеологию Канта как единственно истинную.
В настоящее время ясно, что эти усилия не могли быть полностью успешными. В конце XIX в однако, позиция кантонской философии в математике выглядела почти безупречно. Аргументы эмпириков обеспечивали скорее популярное опровержение априоризма, и, хотя они имели влияние в среде ученых, они никоим образом не были достаточными для борьбы с ним в теоретической сфере. 3.3