Третий кризис оснований математики. Едва улеглись страсти после второго кризиса оснований, как в конце XIX столетия назрел третий, самый глубокий и продолжительный, который волнует математику, логику и философию и поныне.
Третий кризис поставил вопрос о точности математики, безупречности ее основных понятий.
И это затрагивает уже фундамент математики, по-настоящему выводя проблему на уровень философского осмысления темы, поскольку речь идет о статусе математической науки, правомерности построения ее объектов, возможности их существования и критериях истинности утверждений о них. В предыдущих кризисах подобные вопросы, конечно, тоже возникали, но лишь в частных, не глобальных проявлениях. По выводу математики из третьего кризиса сложились три направления логицизм, интуиционизм с его конструктивной ветвью и школа формалистов.
Расцвет деятельности всех трех течений падает на период конца XIX - начала XX столетий с выходом конструктивизма в более позднее время. Кроме того, отдельной строкой идет речь о современных попытках обоснования, нашедших выражение в теоретико-множественном и категориальном подходах. 4.1 Программа логицизма Лидеры логицизма Г. Фреге, Б. Рассел и др. видели основания математики в логике.
Первые идеи логицизма сформулированы в конце XIX в. в работах немецкого математика и логика Г.Фреге и развиты в самом начале XX в. Б. Расселом. В основе логицизма лежит убеждение, что математика является лишь частью, отраслью логики. Логицисты исходят из того, что математическое доказательство широко использует методы логики, построено на базе логических операций. Философ Э. Гуссерль подробно исследовал определение математики как логики.
Аксиоматический метод гордость математики, то, что отличает ее сейчас от других наук своим происхождением также обязан логике, выступающей инструментом извлечения следствий из принимаемых постулатов. Далее, и математике и логике обща точность, являющаяся следствием доказательности выдвигаемых положений. Доказательность же шлифовалась в риторике, которая была предметом особых забот логиков, разрабатывавших ее как умение убеждать, обосновывать Со времени греков пишет Н. Бурбаки говорить Математика - значит говорить Доказательство, в том точном и строгом смысле, какой получило это слово у греков и какой хотим мы придать ему здесь. Бурбаки Н. Элементы математики.
Теория множеств Жизнь науки. М. Наука, 1973. С. 490 Далее, логицизм питается тем, что математики традиционно вводят объекты, опираясь на логический тезис непротиворечивости. Существование математического объекта правомерно, если он мыслим непротиворечивым образом. При этом используется метод доказательства, выступающий острейшим орудием логики.
Одним словом, логика является предпосылкой математики, поскольку последняя широко использует дедуктивные рассуждения. Будучи лишь частью логики, математика, по мнению логицистов, не должна заимствовать ни у созерцания, ни у опыта никакого обоснования. Все специальные математические термины могут быть представлены кратким перечнем основных понятий, которые принадлежат словарю чистой логики. Доказательство же математических теорем не требует иных аксиом, кроме логических, и правил вывода, помимо тех, что использует логика.
Концепция логицизма покоится на идее редукции, сводимости математики к логике. Но что значит редуцировать математику к логике? В конечном счете это предполагает представить математические понятия, объекты и операции как логические, а аксиомы математики как теоремы логики. Однако встает вопрос, как именно следует переводить математические объекты и действия над ними в логические объекты и действия? Значит ли это, что каждый объект и каждую операцию надо выражать в терминах логики? Очевидно, нет. Надо выделить основные понятия и операции и интерпретировать их логически, то есть осуществить аксиоматическое построение математики.
Но теперь возникает другая проблема. В математике немало разделов, дисциплин. Следует ли каждую из них аксиоматизировать и далее работать над ними? Естественно стремление выделить в математике такую отрасль, в терминах которой можно было бы выразить все остальные разделы математики.
Это арифметика. Так весь ход рассуждений приводит к началу процесса и видно, что для реализации конечной цели логицизма необходимо осуществить три последовательные операции арифметизировать математику, аксиоматизировать арифметику и осуществить логическую интерпретацию аксиоматизированной арифметики. Очерченная программа реализуется по двум направлениям создание подходящего логического аппарата и подготовка содержания математики к его применению. 4.1.1