Развивая идеи Больцано, Георг Кантор пришел к еще более интересным выводам °. В качестве отправной точки своих исследований он решительно принимает понятия бесконечного множества II бесконечного числа и развивает на основе этих понятий «арифметику бесконечного». Применяя к бесконечному понятие порядка, он вводит понятие трансфинитного порядкового числа. Мы не намерены здесь входить во все детали этой достаточно хорошо известной теории; остановимся лишь на следующих двух дитересующих нас моментах.
Г. Кантор определяет бесконечное множество как обладающее свойством быть эквивалентным одной из своих частей, или, какой говорит, иметь одинаковую с ней «мощность». Зато конеч.ное множество может быть определено лишь посредством того факта, что оно не обладает частью, равномощной целому, другими словами как множество, не являющееся бесконечным. Таким образом, как это было осознано уже Декартом, именно бесконечное является первичным и позитивным понятием, так что конечное может быть понято лишь посредством отрицания бесконечного. Отсюда следует, что при логическом конструировании арифметики понятие бесконечного и теория бесконечных множеств должны быть помещены до теории конечных чисел, ибо, предшествуя последней логически, они служат ей основанием. Причина того факта,-что понятие бесконечного является предшествующим как в арифметике, так и в геометрии, коренится в самой природе конечного числа. Так как последовательность конечных чисел с необходимостью продолжается в бесконечность, понятие бесконечного, очевидно, должно содержаться в определении конечного числа.
Б. Исследуя понятия предела и континуума, Кантор получил чрезвычайно важный результат: мощность континуума бесконечно выше мощности счетного бесконечного множества. Таким образом, существуют по крайней мере две бесконечности.
Анализируя понятие предела, мы сталкиваемся с тем, что Кантор называет «точкой накопления» . Он определяет ее, отправляясь от факта, что на любом расстоянии от этой точки найдется по крайней мере одна точка, принадлежащая последовательности: отсюда непосредственно следует, что существует бесконечное число таких точек, «близких» к точке предела, и что не существует точек, еще более «близких» к точке предела, чем точки, принадлежащие последовательности. Задавшись целью установить существенные свойства континуума, Кантор открыл следующие характеристики, которые, как он предполагал, смогут послужить для конструктивного определения континуума (мы придерживаемся противоположного мнения, о чем будет сказано в следующем параграфе): все точки континуума являются точками накопления и составляют часть непрерывного множества, и наоборот: все точки накопления принадлежат множеству. Другими словами, континуум является неким законченным плотным и связным единством. Между двумя любыми точками континуума с необходимостью расположено бесконечное (непрерывное) множество Других точек. В континууме нет двух лимитрофных (пограничных) точек. Все его точки разделены бездной бесконечного (непрерывного) множества точек. Здесь дихотомия появляется в последний раз; н именно здесь мы с ней окончательно расстаемся. Действительно, поскольку выдвигаемая ею проблема является общей для всех математических дисциплин н поскольку имплицитные ей трудности не являются противоречиями, а суть просто парадоксы, у нас нет необходимости считаться с ними в ходе позитивного анализа движения. Всюду, где мы оперируем такими понятиями, как расстояние, прямая, путь, тело, мы оказываемся в области, в которой проблема Зенона предполагается решенной, так как иначе все поименованные понятия (расстояние, прямая, путь, тело) лишаются всякого смысла. Своими корнями проблема, поднятая Зеноном, уходит в глубины чистой математики. На уровне же исследования движения этой проблемы более не существует.