Табличный метод определения истинностных значений логических форм сложных суждений

Мы научились выявлять логическую форму и простых, и сложных суждений. Она записывается в логическом языке в виде формул этого языка. К примеру, формула «┐ (Все S есть P)» является символической записью логической формы суждения «Неверно, что все водоплавающие дышат жабрами», а формула (х┐у) – сложного суждения «Иванов – соучастник данного преступления, но не является его инициатором».

Для целей установления логических отношений между формулами сложных суждений (а, значит, и между самими суждениями) нам необходимо овладеть табличным методом определения их истинностных значений. Возьмем для примера формулу х┐у. Строим «вход» и «шапку» таблицы.

1 этап:

х	у	х┐у
и	и
и	л
л	и
л	л

Левая часть таблицы («вход») содержит все возможные варианты распределения истинностных значений переменных х и у, входящих в данную формулу. Этих вариантов всего четыре: они могут быть обе истинны; х - истинно, а у – ложно; х –ложно, а у –истинно; они могут быть обе ложными. Сама формула является сложной, состоит из двух подформул. Общая структура этой формулы XY, где X – это х, а Y - ┐у. Подформула Y, в свою очередь, является сложной формулой ┐y. На втором этапе нашей вычислительной процедуры выпишем (в правой части таблицы) «столбцы» распределения истинностных значений переменных (как они заданы во входе таблицы) строго под этими переменными. Получаем:

2 этап:

x	y	х		┐у
и	и	и		и
и	л	и		л
л	и	л		и
л	л	л		л
		(1)		(2)

Поскольку левая подформула X всей формулы XY – это переменная x, то столбец под ней и будет распределением истинностных значений переменной x. Вычисление подформулы Y выписыванием столбца под переменной у еще не завершено. Как мы помним, эта подформула - тоже сложная формула вида ┐y. По таблице истинности для отрицания (раздел 3.4) выстраиваем столбец истинностных значений для этой подформулы (строго под знаком «┐»):

3 этап:

x	y	х		┐	у
и	и	и		л	и
и	л	и		и	л
л	и	л		л	и
л	л	л		и	л
				(3)

Теперь, построив столбцы истинностных значений для подформул X и Y, выстраиваем столбец для всей конъюнктивной формулы XY (см. раздел 3.4):

4 этап:

x	y	х		┐	у
и	и	и	л	л	и
и	л	и	и	и	л
л	и	л	л	л	и
л	л	л	л	и	л
			(4)

Определение истинностного значения формулы х┐у завершено. В результирующем столбце нашей таблицы (4), как можно убедиться, присутствует как значение «истина», так и значение «ложь».

В дальнейшем нам не потребуется выстраивать каждый этап таблицы отдельно: просто мы будем указывать последовательность этих этапов в единой таблице.

Теперь определим истинностные значения формулы (ху)→z. Выделим две основные части этой формулы: ху и z.

Схема всей формулы такова: X→Y. Поэтому последний (результирующий) столбец таблицы будет выстраиваться под импликацией. Предпоследний столбец построим под конъюнкцией , определив тем самым истинностные значения подформулы X. Наконец, первые три столбца разместим под переменными x, y и z. Получаем:

x	y	z	(x		y)	→	z
и	и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	и	и	л	л
и	л	и	и	л	л	и	и
и	л	л	и	л	л	и	л
л	и	и	л	л	и	и	и
л	и	л	л	л	и	и	л
л	л	и	л	л	л	и	и
л	л	л	л	л	л	и	л
			(1)	(4)	(2)	(5)	(3)

Как видно из этого примера, чтобы точнее представить структуру формулы логического языка, удобно использовать скобки. Они (как в обычной алгебре) играют роль своеобразных знаков препинания, применяемых для указания последовательности построения столбцов истинностных значений. Следует также помнить, что знак «┐» связывает теснее, чем знаки «», «v», «→» и « ≡ »; знак «» - теснее, чем «v», «→» и « ≡ »; знак «v» теснее, чем «→» и « ≡ »; знак «→» - теснее, чем « ≡ » (сначала «вычисляется» формула, в которой главный логический знак «связывает теснее»). При чтении формула должна быть названа именем той логической константы, которая определяет общую структуру всей формулы.

Сравним следующие две формулы:

1. ((xy)┐y)→(x→y)

2. ((x(y┐y)) →x)→y

Они содержат одни и те же переменные и одни и те же логические константы, которые входят в них в той же последовательности. Но логический смысл этих формул различен, поскольку скобки расставлены разными способами. Хотя обе они – импликативные, то есть имеют общий вид X→Y, однако, основание (X) первой формулы составляет конъюнктивная подформула ((xy)┐y), а основание второй - импликативная подформула ((x(y┐y))→x); следствие (Y) первой составляет импликативная подформула x→y, а следствие второй – переменная y.

Обратим внимание, что в таблице истинностных значений формулы (ху)→z, построенной ранее, содержатся не четыре строки, как в предшествующей ей (для формулы x┐y), а восемь. Вообще число строк в таблице зависит от количества переменных, входящих в формулу: если их две, то строк будет четыре, если три, то восемь, если четыре – то 16 и т.п. Словом, оно равно числу 2ⁿ, где n – число попарно различных переменных. Далее, выписывая столбцом все возможные значения для каждой переменной, удобно воспользоваться следующим алгоритмом: начинаем с последней (крайней справа) чередованием «истина» и «ложь» через строку. Для следующей (слева от предыдущей) – чередование идет уже через две строки, а для идущей за ней переменной – через четыре строки и т.п. Такой алгоритм позволяет гарантированно «перебрать» все возможные варианты сочетаний истинностных значений переменных: не пропустить ни одного и не допустить повторов.

Построим таблицы истинности еще для двух формул: ((х→у)х)→у и (х≡у)(ху):

х

у

((х

→

у)

х)

→

у

(х

≡

у)

(х

у)

и

и

*

*

*

и

*

и

и

*

и

*

л

*

л

*

и

л

*

*

*

л

*

и

л

*

л

*

л

*

и

*

л

и

*

*

*

л

*

и

и

*

л

*

л

*

и

*

л

л

*

*

*

л

*

и

л

*

и

*

л

*

л

*

(1)

(5)

(2)

(6)

(3)

(7)

(4)

(1)

(5)

(2)

(7)

(3)

(6)

(4)

Столбцы 1, 2, 3, 5 в первой таблице и столбцы 1- 4 во второй мы оставляем незаполненными (предоставим возможность эту процедуру выполнить самому читателю). Заполнены только столбцы для основных подформул (столбцы 4 и 6 в первой таблице и столбцы 5 и 6 – во второй) и для формул в целом (столбцы под номером 7, выделенные рамкой), то есть результирующие столбцы. Особенность формулы ((х→у)х)→у состоит в том, что в ее результирующем столбце в каждой строке стоит значение «и». В то же время, в результирующем столбце формулы (х≡у)(ху) во всех строках стоит значение «л». Отметим в этой связи следующее. Формула, в каждой строке результирующего столбца которой стоит «и», является тождественно-истинной формулой, то есть законом логики. Формула, в каждой строке результирующего столбца которой стоит «л», является тождественно-ложной, то есть логическим противоречием. Формула, в результирующем столбце которой есть и значение «и», и значение «л», называют выполнимой (см. формулу (х→у)х)).