Логические отношения между сложными суждениями

Эти отношения называются логическими потому, что они не зависят от конкретного содержания входящих в них простых суждений, и детерминируются только смыслом входящих в них логических постоянных. Поэтому установление логических отношений между такими суждениями удобнее производить на их формулах.

Отношения контрарности (противоположности), контрадикторности (противоречия), субконтрарности (частичной совместимости по истине) определяются точно так же, как они были охарактеризованы для простых суждений (см. раздел 3.3.). Нам остается уточнить отношение логического подчинения, точнее, дедуктивного следования, которое является важнейшим для целей анализа правильности умозаключений (об умозаключениях речь пойдет в следующей теме). Дадим два равнозначных определения этого отношения:

· Из формул Х₁, …,Хm дедуктивно следует формула Y, если и только если является логическим законом формула (Х₁Х₂…Х_m)→ Y.

· Из формул Х₁,..., Х_m дедуктивно следует формула Y, если и только если нет ни одной строки в таблице, в которой истинны все формулы Х₁,..., Х_m и ложна формула Y.

Сопоставим теперь для примера формулы, представленные в следующей таблице:

х	у	х┐у	ху	┐х┐у	┐х┐у	┐у→х
и	и	л	и	л	л	и
и	л	и	и	и	л	и
л	и	л	и	и	л	и
л	л	л	л	и	и	л

Сравнив таблицы истинности первой (х┐у) и второй (ху) формул, нетрудно установить, что из первой дедуктивно следует вторая: при истинности первой (2-я строка) истинна и вторая. Кроме того, из первой и второй формул следует третья (┐х┐у). Вторая и четвертая формулы находятся в отношении логического противоречия: они несовместимы и по истине, и по лжи. Далее, вторая и третья формулы являются частично совместимыми по истине, а формулы вторая и пятая эквивалентны.

Убедимся в том, что из формул (х┐у) и (ху) дедуктивно следует формула (┐х┐у) и по первому из определений отношения дедуктивного следования:

х	у	((х┐у)		(ху))	→	(┐х┐у)
и	и	л	л	и	и	л
и	л	и	и	и	и	и
л	и	л	л	и	и	и
л	л	л	л	л	и	и

Эта формула вида X→Y, где основание X составляет конъюнкция формул (х┐у)(ху), а следствие Y – формула (┐х┐у). Из таблицы видно, что данная формула тождественно-истинна, то есть является логическим законом.