Дедуктивные правила выводов из сложных суждений

Различают два вида дедуктивных умозаключений в зависимости от того, учитывается ли в них внутренняя структура простых суждений, входящих в посылки и заключение, или не учитывается. Займемся анализом правил дедуктивных выводов из сложных суждений (т.е. выводов, в которых внутренняя структура простых суждений не учитывается). Сравним, в этой связи, следующие два умозаключения:

1. Если ночью шел дождь, то утром трава мокрая.

2. Ночью шел дождь.

3. Утром трава мокрая.

Заключение 3. получено из посылок 1. и 2. по правилу дедуктивной логики, которое носит название модус поненс:

П.1.

Смысл данного правила состоит в следующем: если одна из посылок умозаключения имеет структуру (логическую форму) условного суждения «Если Х, то Y» (символически Х→Y), а другая совпадает с суждением X (основанием суждения X→Y), тогда признание этих посылок (в качестве истинных суждений) является достаточным для признания суждения Y (следствия суждения Х→Y). По этому правилу осуществляются, к примеру, такие умозаключения: «Если у пациента высокая температура, то он болен; у пациента высокая температура; значит, он болен»; «Если лед нагревается, он тает; лед нагревается; следовательно, он тает»; «Если обвиняемый совершил грабеж, он привлекается к уголовной ответственности; обвиняемый совершил грабеж; значит, он привлекается к уголовной ответственности».

Следующее дедуктивное правило носит название модус толленс:

П.2.

Смысл его таков: если одна из посылок имеет структуру условного суждения Х→Y, а другое суждение совпадает с отрицанием следствия Y этого суждения, тогда признание истинности этих посылок является достаточным основанием для отрицания основания Х данного суждения. Примеры выводов по этому правилу: «Если у пациента высокая температура, то он болен; но он не болен; значит, у него нет повышенной температуры». «Если лед нагревается, он тает; лед не тает; следовательно, он не нагревается». «Если обвиняемый совершил грабеж, он привлекается к уголовной ответственности по ст. 161 УК РФ; обвиняемый не привлекается к уголовной ответственности по этой статье; значит, он не совершил грабежа».

Смысл следующего правила формулируется так: признание конъюнктивного суждения оправдывает признание и каждого в отдельности члена конъюнкции:

П.3. или

Это правило называют удалением конъюнкции. Существует и правило введения конъюнкции:

П.4.

Оно позволяет перейти от признания отдельных суждений к признанию их конъюнкции.

Сформулируем теперь правило удаления дизъюнкции с учетом того, что дизъюнкция может быть как нестрогой, так и строгой.:

П.5. или

Здесь символ «Ú» обозначает нестрогую дизъюнкцию, но на его месте может быть и строгая дизъюнкция. Примеры умозаключений по этому правилу: «Данное преступление совершено умышленно или по неосторожности; умысла не было; значит, преступление совершено по неосторожности»; «Маша вышла замуж или состоит в гражданском браке; Маша замуж не выходила; следовательно, Маша состоит в гражданском браке».

Еще одно правило удаления дизъюнкции формулируется с использованием строгой дизъюнкции:

П.6. или

Смысл его таков: признание одного из членов строгой дизъюнкции влечет отрицание другого. Пример соответствующего этому правилу умозаключения: «Правонарушение является либо преступлением, либо проступком; это правонарушение – проступок; значит, оно не является преступлением».

В корпус логических правил мы включим также следующие правила удаления и введения отрицания:

П.7. П.9.

П.8. П.10.

Данные правила разрешают, к примеру, следующие взаимнообратимые переходы: от суждения «Неверно, что если сегодня понедельник, то завтра среда», к признанию суждения «Сегодня понедельник и неверно, что завтра среда» и наоборот, от признания суждения «Сегодня понедельник и неверно, что завтра среда» к признанию суждения «Неверно, что если сегодня понедельник, то завтра среда» (П.7.); от признания суждения «Неверно, что сегодня понедельник, а завтра среда» к признанию суждения «Неверно, что сегодня понедельник или неверно, что завтра среда» (П.8); от признания суждения «Неверно, что сегодня понедельник или завтра среда» к признанию суждения «Неверно, что сегодня понедельник и неверно, что завтра среда» (П.9.). Правило П.10. называют правилом снятия и введения двойного отрицания. Согласно приведенным ранее эквивалентностям (см. раздел 3.4) двойное отрицание некоторого суждения равнозначно его утверждению. Например, отрицать, что сегодня не понедельник, значит утверждать, что сегодня понедельник, и наоборот.

Правила П.1 –П.10 являются прямыми правилами, позволяющими выводить заключение непосредственно (прямо) из посылок умозаключения. Теперь рассмотрим одно непрямое правило, именуемое «доказательством от противного», в котором заключение выводится из посылок посредством построения промежуточного (дополнительного) вывода.

П.11. ,

где символизирует наличие 2-х выводов из посылок Г и отрицания заключения () некоторого умозаключения: какого-либо суждения (Z) и его отрицания ().

Разъясним смысл этого правила. Представим себе ситуацию, в которой мы не уверены, что из истинных посылок некоторого умозаключения дедуктивно следует его заключение Х, т.е. не уверены в том, что ложность Х исключена. Предполагаем (принимаем допущение), что Х – ложно, т.е. имеет место не-Х. Задача теперь состоит в том, чтобы придти к противоречию, т.е. попытаться из множества истинных посылок и допущения не-Х вывести некоторое суждение Z, и из этих же посылок и допущения вывести не-Z. Если это нам удается, то наличие двух таких выводов позволит утверждать, что заключение Х не может быть ложным, т.е., что оно истинно.

Рассмотрим, как «работает» это правило. Пусть нам дано следующее умозаключение: «Джонсон никогда не ходит на дело без Брауна; по крайней мере, один из рецидивистов – Смит или Джонсон – замешаны в преступлении; у Брауна оказалось неоспоримое алиби. Следовательно, в деле замешан Смит». Спрашивается, является ли это умозаключение правильным?

Построим логическую схему этого умозаключения. Пусть переменная Х представляет простое суждение «Смит замешан в преступлении»; переменная Y – «Джонсон замешан в преступлении», переменная Z – «Браун замешан в преступлении». Получаем:

1. Y→Z

2.

3.

4. X

В этой схеме выражение 1. – логическая форма посылки «Если Джонсон замешан в деле, то и Браун замешан в деле»; выражение 2. - логическая форма посылки «Джонсон или Смит замешаны в преступлении»; выражение 3. – формула посылки «Неверно, что Браун замешан в преступлении»; выражение 4. - логическая форма заключения «В преступлении замешан Смит».

Понятно, что если это умозаключение правильно, то при истинности формул 1.-3., представляющих посылки, формула 4., представляющая заключение, не может оказаться ложной.

В соответствии с правилом П.11. принимаем допущение, что при истинности посылок 1.-3.заключение 4. является ложным. Получаем:

 

Посылка 1	Посылка 2	Посылка 3	Заключение 4
Y→Z			X
и и и	л и и	и	л

Из этой схемы хорошо видно, что при допущении ложности заключения Х приходится признать истинность суждения Y во второй посылке и истинность Z – в первой посылке. Но поскольку истинна и третья посылка, то теперь приходится признать, что Z – ложное суждение. В итоге получаем противоречие: Z и ØZ. После получения такого результата правило П.11 побуждает нас к признанию истинности заключения Х.

Рассмотрим теперь несколько важнейших разновидностей выводов из сложных суждений.