Чисто-условные умозаключения

Представляют собой выводы из любого количества посылок, каждая из которых – условное суждение. Ограничимся анализом примера двухпосылочного умозаключения:

(I) 1. Если данное деяние – кража (Х), то оно – преступление (Y)

2. Если данное деяние - преступление (Y), то оно карается по закону (Z)

3. Если данное деяние – кража (Х), то оно карается по закону (Z)

Схема этого умозаключения такова:

(II) 1. X→Y

2. Y→Z

3. X→Z

Покажем, что это умозаключение действительно является дедуктивным, выведя его заключение X→Z из посылок X→Y и Y→Z с помощью сформулированных ранее дедуктивных логических правил:

(III) 1. X→Y (посылка)

2. Y→Z (посылка)

(1) ┐(X→Z) (допущение)

(2) X┐Z из 1. по П.7.

(3) Х из (2) по П.3.

(4) ┐Z из (2) по П.3.

(5) Y из 1. и (3) по П.1.

(6) Z из 2. и (5) по П.1.

3. X→Z (заключение) из (4) и (6) по П.11.

Строки 1. и 2. над верхней чертой - посылки анализируемого силлогизма, строка 3. под нижней чертой – его заключение. Первая строка (1) под верхней чертой – допущение, что умозаключение не является правильным: предполагается, что его заключение является ложным, т.е. имеет место ┐(X→Z). Вторая строка (2) – результат применения правила П.7. к строке (1). Строки (3) и (4) получены по правилу П.3. из строки (2). Строка (5) – результат применения правила П.1. к первой посылке X→Y и к строке (3). Строка (6) получена по правилу П.1 из второй посылки Y→Z и строки (5). Заключение X→Z (под второй чертой) получено по правилу П.11. на основании строк (4) и (6). Напомним, что это правило позволяет признать некоторую формулу (в нашем примере – формулу X→Z), если допущение его ложности (т.е. ┐(X→Z)) приводит к противоречию. Противоречие действительно было получено: на шаге (4) нам удалось вывести формулу ┐Z, а на шаге (6) – формулу Z. Это и позволило нам признать формулу X→Z, что означает, что из суждений-посылок 1. и 2. анализируемого умозаключения (I) дедуктивно следует его заключение.

Последовательность (I) представляет собой запись в естественном языке конкретного по содержанию умозаключения. Последовательность (II) – формальная схема этого и многих других, отличающихся от него конкретным содержанием умозаключений. Последовательность (III) – формализация процесса выведения из посылок анализируемого умозаключения (I) его заключения.

Схему (II) можно рассматривать и как прямое логическое правило, позволяющее от посылок вида X→Y и Y→Z сразу же переходить к признанию заключения, имеющего вид X→Z:

П.12.

Данный логический принцип именуется правилом транзитивности.

Еще одна разновидность чисто-условных умозаключений имеет следующую схему:

(IV) 1. X→Y

2. ┐Y→┐X

Примеры умозаключений по этой схеме: «Если туман рассеется, вылет будет разрешен; следовательно, если вылет не разрешен, туман не рассеялся». «Кто любит, тот прощает; значит, кто не прощает, тот не любит».

Докажем, что и этот вывод является дедуктивным умозаключением:

(V) 1. X→Y

(1) ┐ (┐Y→┐X) (доп.)

(2) ┐Y┐(┐X) из (1) по П.7.

(3) ┐(┐X) из (2) по П.3.

(4) Х из (3) по П.10

(5) Y из 1. и (4) по П.1.

6) ┐Y из (2) по П.3.

2. ┐Y→┐X (закл.) из (5) и (6) по П.11.

В дальнейшем схему (IV) также можно рассматривать как еще одно правило вывода, имеющее следующий вид:

П.13.

Его называют правилом контрапозиции.