Доказательство

Доказательство – это полное обоснование высказываемого суждения, форма аргументативного рассуждения, которое направляется вопросом «Если предположить, что истинно суждение Х, то из каких других уже известных истинных суждений Y,…,Z оно может быть выведено с помощью дедуктивных правил?».

Из этого определения видно, во-первых, что исходным пунктом данного вида рассуждения является некоторое суждение Х (тезис), истинность которого в начале рассуждения предполагается, но не утверждается. Во-вторых, рассуждающему предстоит построить дедуктивные умозаключения, посылками которых должны быть ранее уже признанные суждения (аргументы), и ему необходимо только вспомнить их, выделить в своей «базе знаний».

Приведем пример доказательства теоремы «Два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут пересечься», известной из школьного курса геометрии. Итак:

1. Тезис: Неверно, что два перпендикуляра к одной и той же прямой могут пересечься. (¬Х)

2. Вопрос: В силу каких истинных суждений (аксиом или ранее доказанных теорем) тезис также является истинным утверждением?

3. Найденные аргументы:

А₁: Если бы прямые пересекались, то была бы точка их пересечения (X→Y).

А₂: Если бы у перпендикуляров (являющихся прямыми) была точка пересечения, то из нее на некоторую прямую можно было бы опустить два перпендикуляра (Y→Z)

А₃: Неверно, что из одной точки можно опустить на прямую два перпендикуляра (┐Z)

4. Вывод:

1. X→Y (пос.)

2. Y→Z (пос.)

3. ┐Z (пос.)

(1) ┐Y из 2. и 3. по П.2.

4. ┐X (закл.) из 1. и (1) по П.2.

Анализ построенного доказательства показывает, что все аргументы – истинные суждения геометрии, а тезис выводится из аргументов с помощью дедуктивного правила модус толленс условно-категорического умозаключения. Поэтому можем констатировать такой результат рассуждения: