1. Условно-категорические – это умозаключения, в которых одна посылка – условное суждение, а вторая посылка и заключение – суждения категорические. Условно-категорические умозаключения бывают двух разновидностей:
| а) утверждающий модус: А®В, А В | б) отрицающий модус: А®В, щВ щА |
(В схемах умозаключений над чертой записываются посылки, под чертой – заключение, черта означает «следовательно»; «А» и «В» – простые суждения).
Пример. Если человек простужен (А), то он болен (В).
Человек простужен (А).
Он болен (В).
Пример. Если человек простужен (А), то он болен (В).
Человек не болен (ùВ).
Он не простужен (ùА).
| Отметим, что сходные схемы: | А®В, В А | и | А®В, ùА ùВ | не являются |
правильными.
Пример. Из посылок «Если человек простужен (А), то он болен (В)» и «Человек болен (В)» вовсе не обязательно следует «Он простужен (А)». «Человек болен» может означать, что у него сломана нога, поднялось давление и т. п. И только с определенной долей вероятности может оказаться, что он болен, потому что простужен. Аналогично и для отрицающего модуса.
2. Разделительно-категорические – это умозаключения, в которых одна посылка – разделительное суждение, а другая посылка и заключение – суждения категорические. Разделительно-категорические умозаключения также бывают двух разновидностей:
| а) утверждающе-отрицающая схема: | б) отрицающе-утверждающая схема: | ||
| АЪВ, В щА | АЪВ, А щВ | АЪ (Ъ) В, щА В | АЪ (Ъ) В, щВ А |
Пример. Отрицающе-утверждающая схема:
Либо мы уходим (А), либо мы остаемся (В).
Мы не уходим (ùА).
Мы остаемся (В).
3. Дилеммы (условно-разделительные силлогизмы) – это умозаключения, в которых две посылки – условные суждения, одна – разделительное, а заключение - либо простое суждение (в простой дилемме), либо сложное разделительное (дизъюнктивное) суждение (в сложной дилемме).
Виды делемм:
| а) простая конструктивная дилемма: | б) простая деструктивная дилемма: |
| А®С, В®С АЪВ С | А®В, А®С щВЪщС щА |
| в) сложная конструктивная дилемма: | г) сложная деструктивная дилемма: |
| А®В, С®D AЪC BЪD | A®B, C®D щBЪщD щAЪщC |
Пример. «Если вы будете говорить правду (А), люди проклянут вас (В), а если будете лгать (С), то вас проклянут боги (D). Но вы можете только говорить правду (A) или лгать (C). Значит, вас проклянут боги (D) или люди (B)». Если мы выпишем из этого рассуждения только буквенные обозначения простых суждений, соединив их соответствующими логическими связками, то получим форму сложной конструктивной дилеммы.
Имеется и еще одна форма дилемм – конструктивно-деструктивные (или все равно, что деструктивно-конструктивные). В этих умозаключениях некоторые из членов разделительной посылки указывают на наличие оснований условных посылок, а некоторые – отрицают следствия (консеквенты) других условных посылок. Например, конструктивно-деструктивной является дилемма вида:
А®В, C®D
AÚùD
BÚùC
4. Чисто условные умозаключения – это вывод из любого количества посылок, которые представляют собой условные суждения, и заключения которых также являются условными суждениями. К этим умозаключениям, в частности, относятся транзитивность импликации и правило контрапозиции.
Транзитивность импликации:
А®В, В®С
А®С
Пример. «Если лобная кора головного мозга повреждена (A), то взаимодействие личности с внешней средой нарушается (B). В этом случае (B) человек утрачивает реальное восприятие действительности (C), а значит (C), превращается в раба ситуации (D)». Это умозаключение имеет форму транзитивности импликации с тремя посылками:
A®B, B®C, C®D
A®D
Правило контрапозиции:
А®В
щВ®щА
Пример. «Если человек знает геометрию (А), то он знает теорему Пифагора (В). Следовательно, если он не знает теоремы Пифагора (ùВ), то он не знает геометрии (ùА).
Все приведённые выше формы умозаключений являются правильными, то есть их соблюдение гарантирует правильность заключения при истинности посылок. Иногда эти формы называют правилами соответствующих умозаключений.
Для проверки правильности умозаключений, не сводимых к этим типам, используется, прежде всего, табличный метод, основанный на том, что между посылками и заключением дедуктивного умозаключения должно существовать отношение логического следования, означающее, что заключение не может быть ложным, если все посылки истинны.
Чтобы проверить правильность умозаключения табличным способом, нужно, прежде всего, составить формулу этого умозаключения, а для этого:
1) записать посылки и заключение на языке логики суждений;
2) соединить между собой посылки с помощью конъюнкции;
3) присоединить заключение к посылкам с помощью импликации;
4) для полученной формулы составить таблицу истинности.
Умозаключение будет правильным (гарантирующим истинность заключения при истинности посылок) только в том случае, если его формула является тождественно истинной (в последнем столбце таблицы все значения «истина»).
Пример. «Если философ – дуалист, то он не материалист. Если он не материалист, то он диалектик или метафизик. Он не метафизик. Следовательно, он диалектик или дуалист».
Данное умозаключение довольно сложно привести к какому-либо традиционному типу, поэтому проверим его правильность табличным способом.
Запишем посылки и заключение нашего суждения на языке логики суждений. Обозначим: р – философ – дуалист; q – философ – материалист; r – философ – метафизик; s – философ – диалектик. Тогда первая посылка – «Если философ – дуалист (р), то он не материалист (ùq)» – на языке логики суждений имеет вид: рÉùq. Вторая посылка – «Если он не материалист (ùq), то он диалектик (s) или метафизик (r)» – запишется так: ùqÉsÚr. Третья посылка – «Он не метафизик: ùr. Заключение – «Он диалектик (s) или дуалист (р)»: sÚр.
Соединяя посылки конъюнкцией (Ù) и присоединяя к ним заключение импликацией (É), получаем формулу: [(р®ùq)Ù(ùq®sÚr)Ùùr]®(sÚр).
Для этой формулы составляем таблицу истинности:
| p | q | r | s | ùq | ùr | A | B | C | D | E | F | ||
| (р®ùq) | sÚr | ùq®B | AÙC | DÙùr | sÚр | D®F | |||||||
| И | И | И | И | Л | Л | Л | И | И | Л | Л | И | И | |
| Л | И | И | И | Л | Л | И | И | И | И | Л | И | И | |
| И | Л | И | И | И | Л | И | И | И | И | Л | И | И | |
| Л | Л | И | И | И | Л | И | И | И | И | Л | И | И | |
| И | И | Л | И | Л | И | Л | И | И | Л | Л | И | И | |
| Л | И | Л | И | Л | И | И | И | И | И | И | И | И | |
| И | Л | Л | И | И | И | И | И | И | И | И | И | И | |
| Л | Л | Л | И | И | И | И | И | И | И | И | И | И | |
| И | И | И | Л | Л | Л | Л | И | И | Л | Л | И | И | |
| Л | И | И | Л | Л | Л | И | И | И | И | Л | Л | Л | |
| И | Л | И | Л | И | Л | И | И | И | И | Л | И | И | |
| Л | Л | И | Л | И | Л | И | И | И | И | Л | Л | Л | |
| И | И | Л | Л | Л | И | Л | Л | И | Л | Л | И | И | |
| Л | И | Л | Л | Л | И | И | Л | И | И | И | Л | Л | |
| И | Л | Л | Л | И | И | И | Л | Л | Л | Л | И | И | |
| Л | Л | Л | Л | И | И | И | Л | Л | Л | Л | Л | И |
Получилась выполнимая формула, так как последний столбец таблицы истинности содержит и значения «истина», и значения «ложь». Это говорит о том, что умозаключение вероятное.
Заметим, что при проверке правильности умозаключений, мы можем не строить таблицу полностью, а, получив значения истинности посылок и заключения, ограничиваться рассмотрением только тех строк, в которых все посылки принимают значения «истина». Так, в нашем примере, получив значения в столбцах 6 (третья посылка), 7 (первая посылка), 9 (вторая посылка) и 12 (заключение), мы могли бы исследовать только строки 6, 7, 8, 14.
Дело в том, что, с одной стороны, вести речь об истинности заключения имеет смысл только при условии истинности посылок. При ложных посылках, даже правильное по форме умозаключение не может гарантировать истинности заключения. А, с другой стороны, проверяя правильность умозаключения, мы, по существу, проверяем, соблюдается ли в нем отношение логического следования между посылками и заключением, которое как раз и состоит в том, что во всех случаях, когда посылки - истинные суждения, заключение - также истинное суждение, и ни в одной строке таблицы не наблюдается случая, когда все посылки истинны, а заключение ложно. При ложной же посылке мы вообще не можем говорить об отношении логического следования.
6.4 Непрямые умозаключения логики высказываний
Непрямые умозаключения представляют собой косвенные рассуждения. Они имеют довольно сложную структуру, благодаря тому, что состоят не из суждений, а из умозаключений. В них одно умозаключение получается из другого.
Этими формами выводов нередко пользуются в процессе аргументации, в частности, как средствами доказательств и опровержений. К непрямым умозаключениям относятся опровержение «путем сведения к абсурду», доказательство «от противного» и рассуждение по случаям.
Опровержение «путем сведения к абсурду» представляет собой непрямое умозаключение, в котором ложность некоторого суждения доказывается на основании того, что из данного суждения можно при помощи правильных умозаключений вывести противоречие.
Структура этого рассуждения такова. Сначала выдвигается некоторое предположение. Затем, используя правильные умозаключения, из него получается противоречие. На основании этого признают выдвинутое положение ложным. Упрощенно, форму этого вывода можно представить в следующем виде:
А ├ В Щ щВ
щА
Основанием такого рассуждения является непротиворечивость как свойство нашего мышления. Противоречие используется как признак неправильности какого-либо умозаключения в нашем рассуждении или ложности какого-либо суждения.
Пример. Представим себе, что на некотором острове живут только рыцари и лжецы. Причем лжецы всегда только лгут, а рыцари всегда говорят только правду. Приехавший на остров человек встречает двух местных жителей и спрашивает, кто они такие. На что один из них отвечает: «По крайней мере, один из нас лжец». Необходимо узнать, кем является отвечавший?
Предположим, что он является лжецом. Обозначим суждение «Ответивший – лжец» - А. Но тогда он сказал неправду, а, следовательно, ни один из них не является лжецом и оба они – рыцари. Мы получили противоречие: отвечавший в одно и тоже время рыцарь (В) и не рыцарь (ùВ). Значит, наше предположение не верно, и тот, кто отвечал, на самом деле является не лжецом, а рыцарем.
Доказательство «от противного» близко к опровержению «путем сведения к абсурду», однако, в отличие от «сведения к абсурду», которое направлено на опровержение некоторого суждения, доказательство «от противного» направлено на доказательство какого-либо суждения, однако при этом оно также использует противоречие.
Структура этого умозаключения следующая. Допустим, нам нужно доказать истинность некоторого суждения. Временно предполагаем истинным суждение, противоречащее доказываемому, то есть отрицание доказываемого суждения. Затем включается тот же механизм вывода, что и в «сведении к абсурду»: при помощи правильных умозаключений выводим из противоречащего доказываемому суждения, которое мы временно предположили истинным, противоречие. И, если удается сделать это, можно считать доказанным то, что мы неверно предположили истинным суждение, противоречащее доказываемому, и оно ложно, а следовательно истинно само доказываемое исходное суждение. Как говорится, что и требовалось доказать.
В виде схемы доказательство «от противного» можно представить так:
щА ├ В Щ щВ
А
Это умозаключение использует закон двойного отрицания: отрицание отрицания некоторого суждения равносильно его утверждению (щщАºА или щщА®А).
Пример. В качестве примера можно использовать ту же самую ситуацию с рыцарями и лжецами. Допустим, мы предположили, что отвечавший – рыцарь и хотим доказать это. Тогда временно допускаем, что он лжец, и выводим из этого противоречие. Тем самым мы доказываем истинность первоначального утверждения.
Рассуждение по случаям применяется тогда, когда необходимо сделать вывод из разделительного суждения (дизъюнкции). Поскольку на практике впрямую из дизъюнкции достаточно трудно делать выводы, то рассуждение по случаям как бы предлагает нам обходной маневр.
Принцип его заключается в следующем. Сначала смотрим, не следует ли интересующее нас суждение из всех альтернатив (случаев) дизъюнкции, и если следует, то его можно утверждать как следствие из всей дизъюнкции. Форма этого умозаключения:
А ├ С, В ├ С
А Ъ В ├С
От условно-разделительных умозаключений (дилемм) это непрямое умозаключение отличается тем, что в его посылках фигурируют не суждения, а умозаключения (выводы).
Пример. «Кондотьеры[2] по-разному владеют своим ремеслом: одни - превосходно, другие – посредственно. Первым нельзя довериться, потому что они сами будут домогаться власти… Вторым нельзя довериться, потому что они проиграют сражение» (Макиавелли).
В основе этого рассуждения лежит дизъюнктивная посылка «Кондотьеры по-разному владеют своим ремеслом: одни – превосходно, другие – посредственно». В логической форме это сложное суждение формулируется следующим образом: «Кондотьеры владеют своим ремеслом превосходно или кондотьеры владеют своим ремеслом посредственно». Из этого суждения Макиавелли делает выводы, применяя непрямое умозаключение, а именно, рассуждение по случаям. Он перебирает альтернативы (случаи) и показывает, что и в том, и в другом случае кондотьерам нельзя довериться. Рассмотрим схему этого рассуждения подробнее.
В нем можно выделить следующие простые суждения: s1 – «Кондотьеры владеют своим ремеслом превосходно»; s2 – «Кондотьеры владеют своим ремеслом посредственно»; r – «Кондотьерам нельзя довериться»; р – «Кондотьеры сами будут домогаться власти»; q – «Кондотьеры проиграют сражение».
s1 и s2 – это и есть альтернативы (случаи) дизъюнктивной посылки, лежащей в основе вывода. Посмотрим, каким образом делаются выводы из одного и другого случая.
Первый случай: «Кондотьеры владеют своим ремеслом превосходно». Макиавелли говорит, что «Если кондотьеры владеют своим ремеслом превосходно, то они сами будут домогаться власти: s1®р.
Далее, «Если они сами будут домогаться власти, то им нельзя довериться»: р®r.
Отсюда вытекает, что им нельзя довериться. Схема вывода будет следующей:
s1®р, s1
р
Следующий шаг:
р®r, р
r
Второй случай: «Кондотьеры владеют своим ремеслом посредственно». Макиавелли утверждает, что если кондотьеры владеют своим ремеслом посредственно, то они проиграют сражение. Если же они проиграют сражение, то им нельзя довериться. Из этих посылок вытекает, что им нельзя довериться. Получается следующая схема вывода:
s2®q, s2
q
Следующий шаг:
q®r, q
r
Таким образом, мы вывели r из s1 и из s2. Это означает, что можно утверждать вывод r из s1 Ъ s2, т. е.
s1 Ъ s2 ├ r.
В результате получилась схема рассуждения по случаям:
s1 ├ r, s2 ├ r
s1 Ъ s2 ├ r
6.5 Непосредственные умозаключения