Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) логика – часть математики; 3) математика и логика имеют некую общую пранауку, из которой они произошли; 4) математика и логика – совершенно разные дисциплины, не имеющие общих корней.
Первые идеи логицизма сформулированы в конце XIX в. в работах немецкого математика и логика Г.Фреге и развиты в самом начале XX в. Б. Расселом.
В основе логицизма лежит убеждение, что математика – своего рода надстройка к фундаменту, заложенному логикой, и что математические объекты покоятся на логических основаниях. Иначе говоря, логицизм вообще полагает математику лишь частью, отраслью логики.
Исходят из того, что математическое доказательство широко использует методы логики, построено на базе логических операций. Американский логик Ч. Пирс, например, характеризовал математику как науку о производстве необходимых умозаключений, а философ Э. Гуссерль подробно исследовал определение математики как логи-
ки. Аксиоматический метод (гордость математики, то, что отличает ее сейчас от других наук) своим происхождением также обязан логике, выступающей инструментом извлечения следствий из принимаемых постулатов. Далее, и математике и логике обща точность, являющаяся следствием доказательности выдвигаемых положений. Доказательность же шлифовалась в риторике, которая была предметом особых забот логиков, разрабатывавших ее как умение убеждать, обосновывать 1.
Далее, логицизм питается тем, что математики традиционно вводят объекты, опираясь на логический тезис непротиворечивости. Существование математического объекта правомерно, если он мыслим непротиворечивым образом. При этом используется метод доказательства, выступающий острейшим орудием логики. Одним словом, логика является предпосылкой математики, поскольку последняя широко использует дедуктивные рассуждения.
Однако сказанное фиксирует, как отмечает А. Черч, лишь слабый смысл приоритета логики над математикой. Сильный же, по Черчу, состоит в том, что они «соотносятся между собой не как два различных предмета, а как более ранняя и более поздняя части одного и того же предмета, а именно таким образом, что математика может быть полностью получена из чистой логики без введения дополнительных основных понятий или дополнительных допущений»2. Или, как говорил в связи с этим Б. Рассел, «логика – юность математики, а математика – зрелость логики».
Эти идеи идут не от одних лишь логиков. Они разделяются так же и некоторыми математиками. Так, Р. Дедекинд, например, писал: «Я называю здесь арифметику (алгебру, анализ) только частью логики: этими словами я хочу сказать, что понятие о числе я считаю совершенно независимым от представлений и воззрений на пространство и время: для меня оно чистый продукт законов нашей мысли»3.
Будучи лишь частью логики, математика, по мнению логици-стов, не должна заимствовать ни у созерцания, ни у опыта никакого
____________
1 «Со времени греков, – пишет Н. Бурбаки, – говорить «Математика» – значит говорить «Доказательство», в том точном и строгом смысле, какой получило это слово у греков и какой хотим мы придать ему здесь» (Бурбаки Н. Элементы математики. Теория множеств // Жизнь науки. М.: Наука, 1973. С. 490.)
2 Черч А. Математика и логика // Математическая логика и ее применения. М.:Мир, 1965. С. 209.
3 Дедекинд Р. Что такое числа и для чего они существуют? С. 1.
обоснования. Все специальные математические термины могут быть представлены кратким перечнем основных понятий, которые принадлежат словарю чистой логики. Доказательство же математических теорем не требует иных аксиом, кроме логических, и правил вывода, помимо тех, что использует логика.
Концепция логицизма покоится на идее редукции, сводимости математики к логике. Но что значит редуцировать математику к логике? В конечном счете это предполагает представить математические понятия, объекты и операции как логические, а аксиомы математики – как теоремы логики. Однако встает вопрос, как именно мы будем математические объекты и действия над ними переводить в логические объекты и действия? Значит ли это, что каждый объект и каждую операцию надо выражать в терминах логики? Очевидно, нет. Надо выделить основные понятия и операции и интерпретировать их логически, то есть осуществить аксиоматическое построение математики. Но теперь возникает другая проблема. В математике немало разделов, дисциплин. Следует ли каждую из них аксиоматизировать и далее работать над ними? Естественно стремление выделить в математике такую отрасль, в терминах которой можно было бы выразить все остальные разделы математики. Это арифметика.
Так в конце нашего рассуждения мы пришли к началу процесса и видим, что для реализации конечной цели логицизма необходимо осуществить три последовательные операции: арифметизировать математику, аксиоматизировать арифметику и осуществить логическую интерпретацию аксиоматизированной арифметики. Очерченная программа реализуется по двум направлениям: создание подходящего логического аппарата и подготовка содержания математики к его применению. Необходимо отметить также, что в выполнении программы были «повинны» не одни лишь логики, но и математики (притом не только разделяющие убеждения логицистов).