ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

А.К. Сухотин

 

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

 

Учебное пособие

 

 

Допущено Отделением по философии, политологии и религиоведению

Учебно-методического объединения по классическому университетскому

образованию в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся

по направлению и специальности «философия»

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТОМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК1

ББК 1025

С91

 

 

С91

Сухотин А.К.

Философия математики: Учебное пособие. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. – 230 с.

 

ISBN 5-7511-1799-0

 

В учебном пособии рассматриваются основные проблемы математики в их философском прочтении – специфика и место математики в ряду наук, философские обоснования, структура, критерии математической истины, а также методы ее поиска и формы теоретической организации.

Для студентов, аспирантов математических и философских факультетов, всех, интересующихся соответствующими вопросами.

 

УДК1

ББК 1025

 

Научный редактор – д-р филос. наук В.А. Суровцев

 

ISBN 5-7511-1799-0

 

© А.К. Сухотин, 2004

3

Введение

 

У философии и математики достаточно много точек касания. Может быть, значительно больше, чем во взаимных отношениях философии с другими науками.

И математика и философия работают с абстракциями наивысших порядков (недосягаемых для остальных дисциплин), хотя и различающихся по своей природе. Математику выделяет то, что ее объекты есть отвлечения от любых природных характеристик и потому они представляют абстракцию от абстракции, фиксируя не просто свойство, а свойство свойств. Но и философия тоже высокоабстрактна, поскольку вторгается в область предельных значений, затрагивая обсуждение вечных вопросов и состояний на грани бытия, его переходов в иное и т.п.

Математику и философию сближает и одновременно отличает от других наук особое отношение к эмпирии. Одно из определяющих требований к математическому доказательству – принципиальный отказ от ссылок на эмпирические аргументы. Подобного рода ссылки разрушали бы математику как науку, в основе дедуктивных построений которой лежат принимаемые без определений исходные объекты и связывающие их взятые без доказательства исходные положения (аксиомы). Философия отрешена от эмпирии в том смысле, что не имеет собственных фактов, и ее отношение к ним опосредовано другими науками. Область пристрастий философии не какое-либо конкретное бытие, а бытие как таковое, как всеобщее, пребывающее во всем без изъятий. Равно и ее подход к мышлению: она берет его не как определенное, «это» мышление, а мышление вообще, как производство форм мыслимости, расширяя тем самым континуум мыслительной деятельности и максимально реализуя ее потенциал.

Родственные связи философии и математики просматриваются также по линии методологического обеспечения ими научных исследований.

4

 

Что касается философии, то это одна из основных, наряду с мировоззренческой, ее функций, рассмотрению которых применительно к математическому творчеству и посвящена настоящая книга. Слабее, но столь же значимо проявляется методологическое назначение и математики, о чем также здесь заявлено, но уже в применении математики к другим наукам, преимущественно естественным.

В основе предлежащего учебного пособия – курс лекций по философии математики, прочитанный автором для студентов механико-математического и философского факультетов Томского государственного университета.

5

Раздел 1

Математика: специфика, место в структуре науки

 

Глава I

ПРЕДМЕТНАЯ ОБЛАСТЬ

ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ

 

1. Определение философии. Разброс значений.

2. Функции философии в их отношении к математике.

3. Философия в математике. Констатации и оценки.

 

Определение философии. Разброс значений

Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук. Распространено убеждение (и не только по причине предубеждений), что философия… Положим, это взгляд со стороны, поскольку позитивисты, как правило, естествоиспытатели, по преимуществу физики. Но…

Функции философии в их отношении к математике

Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и… Здесь не имеется в виду дать общую, целостную картину мира в духе традиционной… Задача мировоззрения – дать не картину мира в целом, а подход к нему. Потому мировоззрение представляет систему…

Философия в математике. Констатации и оценки

Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых. Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром над… По мере развития науки область контактов математики и философии все более расширяется, а их взаимный интерес…

Литература

1. Blume Н. Conversation with Daniel Dennett (Digital Culture). Internet. P. 5.

2. Витгенштейн Л. Философские работы. М.: Гнозис, 1994.

3. Фейнман Р. Характер физических законов. М., 1968.

4. ПойаД. Математическое открытие. М.: Наука, 1970.

5. Вейль Г. О философии математики. М.; Л.: ПТИ, 1934.

6. Dummett V. ТН. Logical Basic of Metaphysics. Cambridge; Massachusetts: Harvard University Press, 1991.

7. ЛакатосИ. Доказательство и опровержение. М.: Наука, 1967.

8. Гильберт Д. Математические проблемы: Речь на II Международном математическом конгрессе//Жизнь науки. М.: Наука, 1973.

9. Борн М. Физика в жизни моего поколения. М.: Иностр. лит., 1963.

10. Vogel Н. Physik und Philosophie fur Max Born. Veb Deutschern Verlag der Wissenschaften. Berlin, 1968.

 

Глава II

СПЕЦИФИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ

 

1. Математический объект как абстракция от абстракции.

2. Математика – наука об отношениях.

3. Проблема свободы математического творчества.

 

Математический объект как абстракция от абстракции

Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят… Оценивая математику как науку, достигающую высшей меры абстрактности, А.… ___________

Математика – наука об отношениях

Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им… Да. Это способность вступать в отношения – количественные, пространственные.… Итак, математика описывает отношения. По определению, отношения – это то, на основе чего вещи могут быть сравниваемы.…

Проблема свободы математического творчества

Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения? В естествознании отношения, то есть законы (как общая, повторяющаяся,…  

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Математический объект как абстракция от абстракции.

2. Специфика математического отношения как абстракция отношений.

3. Свобода и необходимость в творчестве математика.

 

Литература

 

1. Вахидов A.B. Специфические черты математической строгости // Философские науки. 1982. № 3.

2. Абдильдин Ж., Насынбаев А. Диалектико-логические принципы построения теории. Алма-Ата: Наука, 1973.

3. Рузавин Г.И. О природе математического знания. М.: Мысль, 1968.

4. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967.

5. Гильберт Д., Аккермая В. Основы теоретической логики. М., 1947.

6. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983.

7. Клини С. Введение в метаматематику. М., 1957.

8. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Иностр. лит., 1968.

9. Куайн У. В. Основание математики // Математика в современном мире. М.:Мир, 1967.

10. Эддингтон А. Теория относительности. Л.; М., 1934.

11. Зинченко В.П. Психологическая теория деятельности («воспоминания о будущем») // Вопросы философии. 2001. № 2.

12. Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948.

13. КлайнМ. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984.

14. Вопросы истории естествознания и техники. 1981. № 1.

 

Глава III

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ РЕАЛЬНОСТЬ

 

1. Знак и значение.

2. Проблема существования математического объекта.

3. Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики.

4. Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром.

 

Знак и значение

Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей… Знак понимается как материально-вещественное образование, предмет, который… Вообще, принцип любого языка – обозначать внелингвистическую реальность. Язык для того и создается, чтобы говорить о…

Проблема существования математического объекта

Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает…   существовали бы числа, если бы не было математиков? Тут мы явно затрудняемся с ответом1.

Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики

Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние… Учитывая эту двойственность отношений, Карнап и развивает наиболее четко и… Однако что касается «внешнего» языка, вопросов реальности самой теоретической системы, то есть ее отношения к миру, то…

Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром

Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее… ________________ 1 Рашевский П.К. Предисловие// Д. Гильберт. Основания геометрии. С. 7.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Особенность знака и значения в математике.

2. Проявления номинализма и реализма в философии и математике.

3. Синтаксис и семантика в математическом построении.

4. Математический мир и объективный мир.

 

Литература

 

1. РеньиА. Диалоги о математике. М: Мир, 1969.

2. Борн М. Моя жизнь и взгляды. М.: Прогресс, 1973.

3. Успенский В.А. Витгенштейн и основания математики // Вопросы философии. 1998. №5.

4. СтройкД.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1978.

5. Колмогоров А. Современные споры о природе математики // Научное слово. 1929. №6.

6. Генкин Л. Номиналистский анализ математического языка // Математическая логика и ее приложения. М.: Мир, 1965.

7. Френкель А., Бар-Халлел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966.

8. Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теории множеств. М.: Прогресс, 1965.

9. Смирнов В.А. О достоинствах и недостатках одной логико-философской концепции // Философия марксизма и неопозитивизм. М.: Изд-во МГУ, 1963.

 

10. Ван Хао. Процесс и существование в математике // Математическая логика и ее применения. М.: Мир, 1965.

11. Вейль Г. О философии математики. М.; Л.: ГТТИ, 1934.

12. Ферроль. Письмо Ж. Адамару // Адамар Ж. Психология процесса изображения в математике. М.: Сов. радио, 1970.

13. Рашевский П.К. Предисловие // Гильберт Д. Основания геометрии. М.;Л.:ОГИЗ, 1948.

14. КарриХ. Основания математической логики. М.: Мир, 1969.

15. ХорафасД.Н. Системы и моделирование. М.: Мир, 1967.

16. Хлебников В. Собр. произведений: В 5 т. Т. 3. Л., 1930.

17. Герц Г. Из предыстории радио. М.; Л., 1948.

18. Клайн М. Математика – поиск истины. М.: Мир, 1988.

19. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Иностр. лит., 1963.

20. Захаров В.Д. Метафизика в науках о природе // Вопросы философии. 1999. №3.

21. Goethes Werke. В. 3. Leipzig Verlag die Literatur Werke Minerva. Б. г.

22. Stone M. The Revolution in Mathematicals // The American Mathematical Monthly. 1961. Vol. 68, №8.

23. Гильберт Д. Математические проблемы //Жизнь науки. М.: Наука, 1973.

24. Математика в современном мире. М.: Знание, 1969.

 

Глава IV

МАТЕМАТИКА В СИСТЕМЕ НАУК

 

1. Принцип дихотомии знания.

2. Математика как язык науки.

3. Математическая методология.

4. Математика – источник представлений и концепций в естествознании.

 

Принцип дихотомии знания

Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome… Речь идет о фактуальном и формальном видах знания. Факту-альное знание несет…  

Математика как язык науки

Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо… Рассмотренное обстоятельство и выдвигает математику на роль языка науки.… По мере роста абстрактности естествознания эта идея находила все более широкую реализацию, а на склоне XIX в. уже…

Математическая методология

Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении… Обладая способностью представлять любую информацию в виде количественных… Вообще, выделяют три вида эксперимента (от лат. ехреrimentum – проба, опыт): натурный, мысленный и математический.

Математика – источник представлений и концепций в естествознании

Еще одно методологическое назначение математики состоит в том, что она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры… Это обусловлено все той же особенностью математики, позволяющей ей описывать… _____________

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Два типа знания: фактуальное и формальное. Место математики.

2. Математика в качестве языка количественных описаний для науки

3. Методологическая роль математики в естествознании.

 

Литература

 

1. Суровцев В.А. Витгенштейн Л.: Заметки, продиктованные Муру // Вестн. Том. ун-та. 1999. № 267.

2. Галилей Г. Пробирных дел мастер. М., 1987.

3. Налимов В.В. Размышления на философские темы // Вопросы философии. 1997. №10.

4. Ленин В.И. Полн. собр. соч. Т. 18.

5. Розов М.А. Значение как объект исследования // Вопросы философии. 1998. №1.

6. Харре Р. Потенцирующие образы и интуиция в физике // Вопросы философии. 2000. № 9.

7. МарчукГ.И. Математические модели в иммунологии. М., 1980.

8. Дайсон Ф Математика в физических науках // Математика в современном мире. М., 1967.

9. Кант И. Соч.: В 6 т. М.: Мысль, 1966. Т. 6.

10. Шафаревич И.Р. Математическое мышление и природа // Вопросы истории и естествознания. 1996. № 1.

11. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972.

12. Клайн М. Математика – поиск истины. М.: Мир, 1988.

 

Раздел 2

Философские обоснования математики

 

Глава V

ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ РЕШЕНИЕ ЛОГИЦИЗМОМ

 

1. Понятие обоснования математики.

2. Программа логицизма.

3. Причина неудач.

4. Философская оценка.

 

Понятие обоснования математики

Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах.… В других науках (физике, химии, биологии), которые опираются на эксперимент,… Более того, умозрительны не только сами объекты математики, но и ее методы, поскольку истинность здесь не в…

Программа логицизма

Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1)… Первые идеи логицизма сформулированы в конце XIX в. в работах немецкого… В основе логицизма лежит убеждение, что математика – своего рода надстройка к фундаменту, заложенному логикой, и что…

Этап арифметизации.

Итак, 1 – й шаг на пути к логическому представлению исходных математических понятий и операций – арифметизация самой математики.   Но что значит свести высшие разделы математики к простейшим? Архимедов рычаг математики – число. «И я верю, – пишет,…

Второй этап – аксиоматизация арифметики.

1) 1 есть натуральное число; 2) следующее за натуральным числом есть натуральное число; 3) 1 не следует ни за каким натуральным числом; 4) если… В дворянском собрании одного из английских графств высокопоставленные особы… ____________

Причина неудач

Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной…   И всем казалось, что радость будет,

Философская оценка

В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике… Когда Рассел обнаружил парадокс, он, будучи убежденным логицистом, не изменил… Ошибка Г. Фреге состояла в том, что он исходил из мысли об универсальной предметности логики, поэтому допускал в…

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Определение и необходимость обоснования математики.

2. Решение проблемы обоснования логицизмом.

3. Парадоксы теории множеств. Их математическое, логическое, лингвистическое проявления.

4. Философия в объяснении программы логицистов.

 

Литература

 

1. Огурцов А.П. Выступление на «круглом столе» журнала: Псевдонаучное знание в современной культуре // Вопросы философии. 2001. № 6.

2. Бурбаки Н. Элементы математики. Теория множеств // Жизнь науки. М.: Наука, 1973.

_____________

¹ Цит. по: Клайн М. Математика: Утрата определенности. С. 267.

 

3. Черч А. Математика и логика // Математическая логика и ее применения. М.: Мир, 1965.

4. Дедекинд Р. Что такое числа и для чего они существуют? Казань, 1905.

5. Кронекер Л. Понятие о числе. Казань, 1893.

6. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966.

7. Berka R., Kreiser L. Login-Texte. Kommentire Auswahe zur Geschichte der modernen Logik. Akademie-Verlag. Berlin, 1971.

8. Бирюков Б.В. Теория смысла Г. Фреге // Применение логики в науке и технике. М., 1960.

9. Russel В. Logic and Knowledge. L., 1956.

10. Ван Хао. Процесс и существование в математике // Математическая логика и ее применение. М.: Мир, 1965.

11. Клайн М. Математика: Утрата определенности. М.: Мир, 1984.

 

Глава VI

ПРОГРАММА ИНТУИЦИОНИЗМА И ЕГО КОНСТРУКТИВНАЯ ВЕТВЬ

 

1. Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности.

2. Интуитивистская альтернатива.

3. Ограниченность интуиционизма.

4. Конструктивная ветвь.

 

Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности

Новая ориентация в обоснованиях, впервые заявившая о себе в 1907 г., представляла реакцию на попытки придать математике чисто логическое… Как полагает голландский математик Я. Брауэр, считающийся основателем…  

Интуитивистская альтернатива

Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном… Достичь точности и должна помочь интуиция. Необходимо, чтобы все построения… Так переживаемое во времени t как «настоящее 1» в силу течения времени и возможности удерживать памятью прошлое в…

Ограниченность интуиционизма

Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом… Поскольку изначальной реальностью здесь выступает восприятие, нечто… Делается вывод об отрицании объективности математического знания. «Для математической мысли, – пишет, в частности, А.…

Конструктивная ветвь

Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения.… __________________ 1 Цит по: Рид К. Давид Гильберт М.: Наука, 1977. С. 202.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Сопоставить программы логизма и интуиционизма.

2. Исходные установки интуиционистов по вопросу обоснования математики.

3. Философская оценка установок интуиционизма.

4. Основные идеи конструктивного направления.

 

Литература

 

1. Вейль Г. О философии математики. М.; Л.: ГТТИ, 1934.

2. Шанин НА. Конструктивные вещественные числа и конструктивные функциональные пространства // Труды математического института им. В.А. Стеклова. 1962. № 67.

3. Гейтин А Интуиционизм. М.: Мир, 1965.

4. Смирнов В.А Генетический метод построения научной теории // Философские вопросы современной формальной логики. М.: Изд-во АН СССР, 1962.

5. Heyting А. Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik // Berka K., Kreiser L. Logik-Texte. Akademie-Verlag. Berlin, 1971.

6. Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948.

7. Гейтинг А. 30 лет спустя // Математическая логика и ее применение. М.: Мир, 1965.

8. Рид К. Давид Гильберт. М.: Наука, 1977.

9. Марков A.A. О конструктивной математике // Труды математического института им. В.А. Стеклова. Т. 17.

10. Марков A.A. О логике конструктивной математики. М.: Знание, 1972.

11. Яновская С.А. Методологические проблемы науки. М.: Мысль, 1972.

 

Глава VII

ФОРМАЛИСТСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИКИ

 

1. Программное заявление.

2. Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики.

3. Результаты Геделя.

 

Программное заявление

Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом… Под ударами интуиционистской критики незыблемость устоев математики была… Гильберт подверг критике оба предшествующих направления.

Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики

Чтобы доказать непротиворечивость, Гильберт использует метод так называемого абсолютного доказательства, который находит реализацию в идее… Вообще, аксиоматика уже вошла в арсенал математических средств. Благодаря… Однако с усилением абстрактности математики (в частности, благодаря открытию неэвклидовых геометрий), с утратой…

Результаты Геделя

В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из… Аксиоматизируя какую-либо область знания, полагали, что систему аксиом удается… __________________

Это предложение недоказуемо.

Причина в недостаточной определенности самого понятия доказуемости. Общее понятие доказуемости отсутствует, и можно говорить лишь о доказуемости… Возникает вопрос, не является ли факт неполноты теории выражением ее… Безусловно, выводы Геделя имеют более широкое, чем критика формализма, применение. Теоремы выявили ограниченность…

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Исходные установки формалистского направления.

2. Принцип абсолютного доказательства Д. Гильберта.

3. Философская оценка результатов К. Геделя.

4. Значение идей Геделя для развития математики.

 

Литература

 

1. Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л.: ОГИЗ, 1948.

2. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.; Л., 1937.

3. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989.

4. Смирнова Е.Д. Непротиворечивость и элиминируемость в теории доказательств // Философия в современном мире: Философия и логика. М: Наука, 1974.

5. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.: Иностр. лит, 1947.

6. Смаллиан Р. Как же называется эта книга? М., 1981.

7. Овчинников Н.Ф. Знание – болевой нерв философской мысли // Вопросы философии. 2001. № 2.

8. Паршин А.И. Размышления над теоремой Геделя // Вопросы философии. 2000. № 6.

__________________

¹ Паршин А.Н. Размышления над теоремой Геделя. С. 94.

 

Глава VIII

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ

 

1. Итоги исканий.

2. Новые подходы.

3. Обоснование в свете эволюции математики.

 

Итоги исканий

Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения.… Мы обязаны логицизму разработкой и практическими применениями эффективного (и… Характеризуя движение от традиционной формальной логики к математической, явившейся современным этапом ее развития, Г.…

Новые подходы

Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе… Осознавая, что каждое из направлений объясняет какие-то важные грани… Участники симпозиума пытались понять друг друга, хотя каждый все же считал, что именно его точка зрения правильная и…

Обоснование в свете эволюции математики

Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов…   Одной из основных задач философии часто полагают ее устремленность на решение вечных проблем.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Вклад основных направлений в решение проблемы обоснования математики.

2. Подходы к обоснованию теоретико-категориальным и аксиоматическим направлениями.

3. Идеи эмпирического обоснования математики.

4. Обоснование с точки зрения учета эволюции математики.

 

Литература

 

1. Reichenbach H. Elements of Symbolic Logic. N.Y., 1947.

2. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания математики. М.: Мир, 1966.

3. Гудстейн Р.Л. Математическая логика. М.: Иностр. лит., 1961.

4. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973.

5. Гейтинг А. Интуиционизм. М.: Мир, 1965.

6. Иве Г., Ньюсом К.В. О математической логике и философии математики. М.: Знание, 1968.

7. Вейль Г. О философии математики. М.; Л.: ГТТИ, 1934.

8. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Иностр. лит., 1963.

9. Гейтинг А. 30 лет спустя // Математическая логика и ее применения. М., 1965.

10. Лакатос И. Доказательство и опровержение. М.: Наука, 1967.

11. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967.

12. Александров АД., Лаврентьев М.А. Математика, ее содержание, методы. М., 1956.

13. Вопросы философии. 1969. №2.

14. Метлов В.И. Диалектика оснований и развития научного знания // Вопросы философии. 1976. № 1.

15. КарриХ. Основания математической логики. М.: Мир, 1969.

16. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966.

 

Раздел 3

Математическая истина: статус, структура, критериальные ориентиры

Глава IX

СПЕЦИФИКА ИСТИНЫ В МАТЕМАТИКЕ

 

1. Истина в формализованных языках.

2. Критерий выводимости и понятие корректности.

3. Математика и методы схоластики.

 

Истина в формализованных языках

Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую… Идея многозначности истины нашла отражение в попытках создать своего рода… В разработке и утверждении в методологии понятия формально-логической истины большую роль сыграло развитие концепции…

Критерий выводимости и понятие корректности

Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины.…   Перевод вопроса об истине в формально-логический план погружает математику в самое себя и ориентирует на подход к…

Математика и методы схоластики

В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические… Религиозная схоластика как разновидность философского мышления сформировалась… Основным и единственным инструментарием схоластических исканий выступают операции чистой мысли, реализуемые в сфере…

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Парадокс лжеца и концепция формализованного языка.

2. Истина как выводимость.

3. Математика и схоластика в их отношении к реальности.

 

Литература

 

1. Huber L. Eidos und Existenz, Umrisse einer Philosophie der Gegenwärtigkeit. Schwabe&Co AG. Verlag; Basel, 1995.

2. Tarsky A. Der Wahrheits Regriff in der formalistischen Sprachen // Berka K. Kreiser L. Logik-Texte. Kommentierte. Auswähle Zur Geschichte der modernen Logik. Akademie-Verlag. Berlin, 1971.

3. Хайдеггер М. Время и бытие. М., 1993.

4. Тарский А. Истина и доказательство // Вопросы философии. 1972. № 8.

5. Штейнгауз Г. Задачи и размышления. М: Мир, 1974.

6. Галилей Г. Диалог о двух главнейших системах мира – птолемеевой и коперниковой. М.; Л., 1948.

7. Философский энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл., 1983.

8. Рассел Б. История западной философии. М.: Иностр. лит., 1959.

9. Дерюгин СВ., Наумов А.Н. Основной вопрос философии: Вариант решения // Философские науки. 1991. № 1.

10. Раушенбах Б.В. О логике триединства // Вопросы философии. 1990.

 

Глава X

ДЕДУКТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

 

1. Математическое доказательство.

2. Принципы построения дедуктивных теорий.

3. Критерии «внешнего» оправдания.

 

Математическое доказательство

Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность… Математическое доказательство имеет много общего с теми принципами, которые… В XX в. понятие доказательства утратило строгий смысл, что произошло в связи с обнаружением логических парадоксов,…

Правило подстановки. В математике подстановка определяется как замена каждого из элементов а данного множества каким-либо другим элементом Ф(а) из того же множества. В математической логике правило подстановки формулируется следующим образом. Если истинная формула М в исчислении высказываний содержит букву, скажем А, то, заменив ее повсюду, где она встречается, произвольной буквой D, мы получим формулу, так же истинную, как и исходная. Это возможно и допустимо потому именно, что в исчислении высказываний отвлекаются от смысла высказываний (формул). Учитываются только значения «истина» или «ложь». Например, в формуле М: A®(BÚA) на место А подставляем выражение (AÚB), в результате получаем новую формулу (AÚB) ® [(BÚ (AÚB)].

Правило вывода заключений соответствует структуре условно-категорического силлогизма modus ponens (модус утверждающий) в формальной логике. Он имеет следующий вид:

A®b

a___

B

Дано высказывание (a®b) и еще дано a. Из этого следует b.

 

К примеру: если идет дождь, то мостовая мокрая, дождь идет (a), следовательно, мостовая мокрая (b). В математической логике этот силлогизм записывается таким образом: (a®b) Ù a®b.

Умозаключение определяется как правило отделения для импликации. Если дана импликация (a®b) и ее антецедент (a), то мы вправе присоединить к рассуждению (доказательству) также и консеквент данной импликации (b). Силлогизм носит принудительный характер, составляя арсенал дедуктивных средств доказательства, то есть абсолютно отвечая требованиям математических рассуждений.

Большую роль в математическом доказательстве играет теорема о дедукции – общее название для ряда теорем, процедура которых обеспечивает возможность установить доказуемость импликации: A®B, когда налицо логический вывод формулы В из формулы А. В наиболее распространенном варианте исчисления высказываний (в классической, интуиционистской и других видах математики) теорема о дедукции утверждает следующее. Если дана система посылок Г и посылка А, из которых, согласно правилам, выводимо В Г,А├ В (├ – знак выводимости), то следует, что только из посылок Г можно получить предложение A®B.

Мы рассмотрели тип, который является прямым доказательством. Вместе в тем в логике используются и так называемые косвенные (то есть непрямые) доказательства, которые развертываются по следующей схеме. Не имея, в силу ряда причин (недоступность объекта исследования, утрата реальности его существования и т. п.), возможности провести прямое доказательство истинности какого-либо утверждения, тезиса, строят антитезис. Убеждаются, что антитезис ведет к противоречиям и, стало быть, является ложным. Тогда из факта ложности антитезиса делают – на основании закона исключенного третьего (aÚā) – вывод об истинности тезиса.

В математике широко используется одна из форм косвенного доказательства – доказательство от противного. Оно особенно ценно и, по сути, незаменимо в принятии фундаментальных понятий и положений математики, например понятия актуальной бесконечности, которое никак иначе ввести невозможно.

Операция доказательства от противного представлена в математической логике следующим образом. Дана последовательность формул Г и отрицание А (Г, Ā). Если из этого следует В и его отрицание (Г, Ā ├ В, не-В), то можно сделать вывод, что из последовательности формул Г вытекает истинность А. Иначе говоря, из ложности антитезиса следует истинность тезиса.

 

Принципы построения дедуктивных теорий

Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей. Дедуктивный вывод является принудительным, его признание диктуется принятием… Вместе с тем надо признать, что в научном поиске дедуктивные и индуктивные процедуры не отгорожены друг от друга, они…

Критерии «внешнего» оправдания

Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить… В дедуктивных системах действует, как уже не раз отмечалось, критерий… Дедуктивные системы создаются независимо от того, насколько мы поняли окружающий мир. Реальный мир для математиков…

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Специфика доказательства в математике.

2. Составляющие дедуктивной системы знания.

3. Проблема истинности математической теории и ее критерии.

 

Литература

 

1. Есенин-Вольпин А.Е. Об антитрадиционной (ультраинтуиционистской) программе оснований математики и естественнонаучном мышлении // Вопросы философии. 1996. № 8.

 

2. Эйнштейн А. Мотивы научного исследования // Собрание научных трудов: В 4 т. М.: Наука, 1967. Т. 4.

3. Новиков Л.С. Элементы математической логики. М., 1959.

4. Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории чисел // Математическая теория логического вывода. М., 1967.

5. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. М.: Наука, 1979.

6. Арлычев А.Н. Априоризм Канта и методология физики // Вопросы философии. 2001. №11.

7. Гильберт Д. Математические проблемы. Речь на II Международном математическом конгрессе // Жизнь науки. М.: Наука, 1973.

8. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. М.; Л., 1933. Т. 1.

9. Фейнберг Е.Л. Эволюция методологии в XX веке // Вопросы философии. 1995. №7.

10. Рузавин Г.И. О природе математического знания. М.: Мысль, 1968.

 

Глава XI

КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ОРИЕНТИРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА

 

1. Вторичные показатели истины.

2. Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика.

3. Вероятностный характер вторичных критериев.

 

Вторичные показатели истины

В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это… В подобных условиях и прибегают к использованию так называемых вторичных…  

Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика

Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о… __________________ 1 Мопертюи П. Согласование законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми // Вариационные принципы…

Вероятностный характер вторичных критериев

 

Нам остается решить одну серьезную проблему. Вводя в дело вторичные критерии, рассуждают по схеме: если истинная теория проста, красива и т. д. (а это наблюдается повсеместно), то неуклонно следует, что, утверждая истинность теоретического построения, мы тем самым принимаем как факт и его простоту. В основе подобного рассуждения лежит дедуктивное условно-категорическое умозаключение типа modus ponens. У нас шла речь о нем в гл. X, § 1. Напомним:

A®b

a___

B

Дано: Если a, то b, и еще a, следовательно, b.

Такой ход мысли имеет принудительный характер, и его вывод (принятие следствия) является обязательным.

Однако в случае использования вторичных критериев рассуждение проходит несколько по иному сценарию. Мы ведь обернули ситуацию: если простота – признак истины, то по признаку простоты предложили искать истинное знание. В этом случае схема рассуждения уже иная:

 

A®b

___b

A

Здесь мы идем не от основания (а) к следствию (b), а наоборот – от следствия к основанию, полагая, что если признано, что истинные теории просты, то любая простая теория должна по одному этому быть истинной. Логика квалифицирует подобные рассуждения как ошибочные. Здесь осуществлена логическая операция конверсии – выяснение отношения предиката (Р) к субъекту (S) на основании знания отношения субъекта к предикату. Из того факта, что все истинные теории (S) обладают свойством простоты (Р) мы и сделали вывод, что каждая простая теория истинна. Символически это можно представить формулой вида

Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).

"x(Sx®Px) ®$x (Px®Sx)., где $ – квантор существования и читается: «Существует такой х, что...». Почему же ученые используют этот достаточно зыбкий прием? Во-первых, такое использование весьма распространено в…

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Дополнительные, внеэмпирические показатели истины.

2. Эвристические приемы использования количественных, логических, эстетических характеристик математических выражений.

3. Вероятностная природа вторичных критериев истины и возможные ошибки в их применении.

 

Литература

 

1. Эйнштейн А. Физика и реальность. М., 1965.

2. ТолстойЛ.Н. Поли. собр. соч.: В 90т. М.; Л., 1928-1958. Т. 45.

3. Фейнман Р. Характер физических законов. М., 1968.

4. Мопертюи П Согласование законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми // Вариационные принципы механики. М, 1959.

5. Блок А. Возмездие // Собр. соч.: В 8 т. М.; Л., 1960. Т. 3.

6. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968.

7. Goethes Werke. Leipzig Verlag der Literaturwerke. Minerva. S. 1. Dritter Band.

8. Харди Т. Исповедь математика // Математики о математике. М.: Знание, 1967.

9. Исследования по истории физики и механики. М., 1988.

10. Дирак П. Электроны и вакуум. М., 1937.

 

Раздел 4

Методология математического поиска

Глава XII

ИНТУИЦИЯ И ЛОГИКА

 

1. Базисные определения. Расстановка позиций.

2. Этапы творческого процесса:

а) постановка проблемы;

б) инкубация;

в) озарение;

г) логическая подборка.

 

Базисные определения. Расстановка позиций

Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности… По определению, логическое представляет выводное знание, получаемое благодаря… Логическое есть синоним сознательного. Сознание же оценивается как высшая форма отражения и осмысления мира, его…

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Сопоставьте логическое и интуитивное мышление по их основным характеристикам.

2. Постановка проблемы как творческий этап.

 

3. Особенности протекания инкубации и озарения.

4. Механизм этапа проверки решения проблемы.

 

Литература

 

1. Дайсон Ф. Математика и физика // Успехи физических наук. 1965. Т. 85, вып. 2.

2. Выготский Л. С. Психология искусства. М., 1965.

3. Морделл Л. Размышления математика. М.: Знание, 1971.

4. Клейн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988.

5. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970.

6. Александров П.С. Математическое открытие и его восприятие // Научное открытие и его восприятие. М.: Наука, 1971.

7. Зелиг К. Альберт Эйнштейн. М.: Атомиздат, 1966.

8. Лук А.Н. Интуиция и научное творчество. М.: ИНИОН, 1981.

 

Глава XIII

МЕТОД ФОРМАЛИЗАЦИИ

 

1. Понятие формализации.

2. Эвристика. Формализация как прием получения нового знания.

3. Границы и издержки формализации.

 

Понятие формализации

Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его… Процедура формализации есть установление однозначного соответствия между… Формализация сопровождается введением символов (хотя и не сводится только к этому). Формализовать некоторую…

Эвристика. Формализация как прием получения нового знания

Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как…   со знаковой формой, преобразуя лишь символику. Математика, бучи совокупностью формализованных языков, как раз и…

Границы и издержки формализации

Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием. Прежде всего, напомним о результатах Геделя, которые доказали, что полная… В использовании приемов формализации выявляются и некоторые издержки, несущие отрицательные последствия, если с ними…

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Определение приема формализации.

2. Два пути построения формализованного языка. Их эвристическая ценность.

3. Ограниченность метода формализации.

 

Литература

 

1. Кляус Е.М. Блез Паскаль // У истоков классической науки. М., 1968.

2. Klaus G. Die Macht des Wortes. Veb Deutscher Verlag der Wissenschaften. Berlin, 1965.

3. Карно Л. Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых. М.: Гостехиздат, 1933.

4. Лефевр В.А. Непостижимая эффективность математики в исследованиях человеческой рефлексии // Вопросы философии. 1990. № 7.

5. Фрейденталь X. Язык логики. М.: Наука, 1969.

6. Лакатос И. Доказательство и опровержение. М: Наука, 1967.

_________________

¹ Лакатос И. Доказательство и опровержение. М: Наука, 1967. С. 8.

 

Глава XIV

МЕТОД ОБОБЩАЮЩЕЙ ПЕРЕФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧИ

 

1. Проблемная ситуация и алгоритм метода.

2. Преимущества общего подхода.

3. Эвристика.

 

Проблемная ситуация и алгоритм метода

Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно… Суть метода в том, что рекомендуется некую частную проблему, которая стоит… Поставим вопрос так. Какую задачу решить легче: частную или общую? Казалось бы, частная задача поддается решению…

Преимущества общего подхода

Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной? Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее –… Таковы общеметодологические соображения. В применении конкретно к математике заслуживает внимания позиция Г. Харди. …

Эвристика

Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в… _________________ 1 Лагранж Ж. Аналитическая механика. М; Л.: ПТИ, 1950. Т. 1. С. 9.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Характеристика метода обобщающей переформулировки проблемы.

2. Особенности знания об общем.

3. Свойства панорамного видения объекта.

4. Эвристические приемы на основе метода обобщающей переформулировки проблемы.

 

Литература

 

1. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1975.

2. Пойа Д. Как решать задачу. М., 1959.

3. Qwine W. World and Object. N.Y.; L., 1960.

4. Харди Г. Исповедь математика. М: Знание, 1967.

5. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970.

6. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.; Л., 1987.

7. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959.

8. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М.: Просвещение, 1969.

9. Даламбер. Динамика. М.; Л.: ГТТИ, 1950.

10. Сойер У.У. Прелюдия к математике. М.: Математическое просвещение, 1972.

11. Богоявленский Д.Н., Менчинская H.A. Психология усвоения знаний в школе. М.: АН РСФСР, 1959.

12. ЛагранжЖ. Аналитическая механика. М.; Л.: ГТТИ, 1950. Т. 1.

13. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968.

14. Борн М. Моя жизнь и взгляды. М.: Прогресс, 1973.

15. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966.

 

Заключение

МАТЕМАТИКА

В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ

Математика занимает особое место в системе общественных ценностей. По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А.… Утвердилось высказанное еще Леонардо да Винчи мнение о том, что «никакое исследование не может считаться научным, пока…

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Введение 3

Раздел 1

МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ

1. Определение философии. Разброс значений 5 2. Функции философии в их отношении к математике. 10 3. Философия в математике. Констатации и оценки. . 14

Раздел 2

ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

1. Понятие обоснования математики 72 2. Программа логицизма 76 3. Причина неудач 83

Раздел 3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИСТИНА: СТАТУС, СТРУКТУРА, КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ОРИЕНТИРЫ

1. Истина в формализованных языках 140 2. Критерий выводимости и понятие корректности. 145 3. Математика и методы схоластики 149

Раздел 4

МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА

1. Базисные определения. Расстановка позиций 190 2. Этапы творческого процесса 193 а) Постановка проблемы 193