Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начинают Дедекинд и Грассман, а завершает Пеано. Выделив три основных понятия – «натуральное число», «следование за...» (одного числа непосредственно за другим), «начальный член натурального ряда» (0 или 1), Пеано связал их пятью аксиомами.
1) 1 есть натуральное число; 2) следующее за натуральным числом есть натуральное число; 3) 1 не следует ни за каким натуральным числом; 4) если натуральное число b следует за натуральным числом а и за натуральным числом с, то а и с тождественны. Заметим, несколько забегая вперед, что эта аксиома выступает как проявление более общей, логической аксиомы функциональности aRbÙcRb® a=c, то есть если предметы а и с одинаково относятся к b, то а и с есть один и тот же предмет. Скажем, если Петр – брат Елены и Сергей – брат Елены, то Петр и Сергей – братья. Типично дедуктивное умозаключение на основе суждений с отношениями. У В. Теккерея описан интересный эпизод.
В дворянском собрании одного из английских графств высокопоставленные особы делились воспоминаниями. Среди присутствовавших был местный аббат, который сообщил, что первым, кто у него исповедовался, был убийца. Еще не остыли его слова, как в помещение клуба вошел один знатный господин округи. Поздоро-
____________
1 Пуанкаре А. Наука и метод. СПб., 1910. С. 101.
вался, огляделся и произнес: «О, аббат, и вы здесь. А вы знаете, господа, я был первым, кто исповедовался у аббата». В собрании возникла, говоря языком драматургии, немая пауза. Кто бы мог подумать, что столь почитаемый коллега – убийца. Но ни он, ни аббат прямо об этом не заявляли. Факт вытекает как следствие логического умозаключения. Формализуем:
a – знатный дворянин,
b – аббат,
c – убийца,
R – исповедоваться первым.
Налицо та же логическая формула функциональности (aRbÙcRb® a=c), следствием которой является рассматриваемая аксиома арифметики, что и может послужить основанием рассматривать последнюю в качестве теоремы, выводимой из аксиомы логики.
Наконец, аксиома 5) если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа и, вытекает, что оно верно и для следующего за п натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Итак, арифметика аксиоматизирована. Следующий шаг программы –
определение исходных понятий аксиоматизированной арифметики в терминах логики, а аксиом – как теорем логики.
Понадобился специальный логический аппарат. Он создавался ранее. Первые идеи находим у Р. Декарта (XVII в.), рассматривавшего математику как частный случай исчисления (общего формально-логического метода). Г. Лейбниц (в книге «Искусство комбинаторики») говорит о введении универсального языка науки, функционирующего на основе целесообразно подобранной символики и предназначенного для проведения рассуждений1. Не надо будет спорить ни по вопросам науки, ни о политике. Имея такой язык, люди скажут «сядем и будем вычислять». Затем Лейбниц развивает идеи, близкие понятиям символической логики (например, вводит логическое умножение и сложение). В середине XIX в. Д. Буль создает алгебру логики, а де Морган формулирует принципы логики высказываний и логики классов.
Использовать этот аппарат в интересах логицизма и пытается Г. Фреге. Он же формулирует программу логицизма.
____________________
1 Язык предполагает, по Лейбницу, указание списка всех элементарных понятий (алфавит человеческих мыслей), основных отношений между понятиями и правил комбинаций с этими символами.
Проводится следующая цепь доказательств. Математика покоится на логике (не на эксперименте), ибо ее доказательства – апелляция не к опыту, а к возможности (процедуре) логического выведения одного предложения из других. Что же касается самой логики, то ее утверждения, по мнению логицистов, формальны, они ничего не говорят о мире и представляют аналитические высказывания, тавтологии. Их истинность зависит не от содержания, но лишь от формы, оттого они истинны "во всех возможных мирах".
Таким образом, логику можно изложить в виде исчисления, построив формализованный логический язык. Тогда, поскольку математика – часть логики, выдвигается программа: представив логику как исчисление, вывести из ее аксиом все положения чистой математики и все понятия последней описать посредством логических понятий (для чего и необходимо было выразить ее в минимуме исходных терминов и положений). В результате понятия математики оказываются понятиями логики (1); аксиомы математики — доказуемыми теоремами логики (2); устанавливаются правила вывода (для получения из логических положений предложений математики) (3).
В соответствии с программой предстояло определить в терминах логики понятие числа и операций над числами. В основе логического подхода к числу лежит идея взаимно-однозначного соответствия. Это позволяет установить равенство двух (и более) множеств по количеству элементов, не прибегая к математической операции их пересчитывания и пользуясь просто методом сопоставления элементов одного множества элементам другого. Если удается установить полное однозначное соответствие, то множества эквивалентны. Так, множество сторон света эквивалентно множеству углов равностороннего прямоугольника, а также эквивалентно множеству букв в слове «вода», множеству конечностей человека. Можно говорить о множестве всех таких эквивалентных между собой множеств, имя которому – четыре.
Отсюда любое число есть множество всех множеств, которые эквивалентны между собой. Фреге интерпретировал натуральные числа как кардинальные числа некоторых понятий. Кардинальное (то есть не порядковое, а количественное) число (иначе говоря, мощность) понятия F определялось как сокращение для объема понятия, равночисленного с понятием F. Например, все понятия с единичным объемом (скажем, столица Франции, автор романа «Жерминаль») подпадают под одно понятие с кардинальным числом 1, то есть его мощность равна мощности класса 1, все понятия с кардинальным
числом 2 находятся во взаимнооднозначном соответствии, образуя число 2, и т. д. Таким образом, число есть класс всех возможных его реализаций.
Так же логически определяются арифметические операции: сложение, объединение (дизъюнкция) (a+b) = (aÚb), умножение – как отыскание общих элементов (конъюнкция) (a×b)= (aÙ b). Необходимо отметить только, что в логике эти операции подчинены принципу идемпотентности (сохранения степени), который в математике нарушается. Но о том чуть позже.