Новая ориентация в обоснованиях, впервые заявившая о себе в 1907 г., представляла реакцию на попытки придать математике чисто логическое истолкование. Интуиционисты (Я. Брауэр, Г. Вейль, А. Гейтинг, чуть ранее Л. Кронекер и др.) в противовес этому исходили из того, что математика не может быть сведена к логике, ибо уходит в структуры мысли глубже ее, логика связана с языком, который, как показали парадоксы, несовершенен. Поэтому математика не нуждается ни в языке, ни в логике, ибо невербали-зуема и, будучи независимой, автономной от языка, опирается на интуицию. Математическое построение должно быть столь непосредственным для разума, а результат ясным, что это не нуждается в логических подпорках.
Как полагает голландский математик Я. Брауэр, считающийся основателем интуиционизма, математические мысли рождаются вне слов, слова используются только для передачи мысли, математическое содержание которой не зависит от словесного одеяния. Мысли нельзя выразить адекватно в языке (даже в математическом языке), поскольку он вносит отклонения от предмета. Еще А. Шо-
пенгауэр говорил: мысль умирает, как только она воплощается в словах. Те же мотивы у нашего поэта Ф. Тютчева:
Другому как понять тебя?
Поймет ли он, чем ты живешь?
Мысль изреченная есть ложь.
Все это и делает правомерным для интуиционистов вывод о независимости математики от языка и логики. Более того, ими высказывается тезис о том, что не математика – часть логики, а, наоборот, логика есть часть математики и была в свое время абстрагирована от последней, именно – от математики конечных множеств. Но забыв об этом, кто-то принял логику за нечто, стоящее над математикой, ей предшествующее, и применил к математике бесконечных множеств. В этом состоял грех теории множеств, за который ее и покарало антиномиями.
Вместе с тем это не означает отрицания роли логики вообще. В ней есть для интуиционизма ценное. Брауэр, например, выделяет интуитивно приемлемые логические принципы, которые можно использовать. Только необходимо проводить анализ границ их применимости (об этом сажем позднее).
Новые установки повлекли пересмотр фундаментальных математических понятий, принципов и методов, затрагивая не только идеи логицизма, но и всей традиционной математики. Прежде всего подвергся критике принцип бесконечности. И это не случайно. «Если пожелать... резюмировать сущность математики в немногих словах, – пишет Г. Вейль, – то можно сказать – это наука о бесконечном». И далее Вейль приводит слова Д. Гильберта, который, имея в виду прежде всего математика, писал: «Ни одна проблема не волновала так глубоко человеческую душу, как проблема бесконечного, ни одна идея не оказала столь сильного и плодотворного влияния на разум, как идея бесконечного, но, с другой стороны, ни одно понятие не нуждается так в выяснении, как понятие бесконечного»1.
Математическое построение конечно, но не любое построение может быть выполнено фактически, поскольку для его получения надо совершить бесконечное количество шагов. Тем не менее математика свободно оперирует с подобными конструктами. Почему?
______________
1 Вейль Г. О философии математики. С. 90.
Как показал отечественный математик, сторонник конструктивистского течения, А. Марков, математик имеет дело не с самой бесконечностью, но лишь с ее абстракцией, то есть, строя свой объект, он исходит из гипотезы осуществимости таких операций, которые, если бы их провести фактически, затянулись на века. От возможности построения подобных объектов отвлекаются, принимая ее лишь в абстрактном смысле. Это наше действие и опирается на абстракцию осуществимости. Реальное построение бесконечного объекта, с точки зрения интуиционизма, невозможно, но оно кажется осуществимым либо даже осуществлено (если заранее задано).
Наиболее сильным допущением является актуальная осуществимость: объект существует, если мыслим без противоречий. На этом основании и строилась актуальная (то есть осуществленная, заданная всеми своими элементами) бесконечность, например натуральный ряд чисел. Благодаря такой абстракции математики оперируют с бесконечными множествами как с конечными, так сказать, реализуя тезис Файхингера «Philosophie des Als Ob» – «философия как если бы». Так удобно.
Другой представитель отечественного конструктивизма,Н. Шанин, показал гносеологический механизм образования понятия бесконечности. Он поясняет, что, имея набор конструктивных средств построения математических объектов, мы можем допустить, что эти объекты не только осуществимы потенциально, но и построены фактически. Необходимы четыре шага:
1) вводим наряду с реальной, природою данной бесконечностью математическую бесконечность как возможность;
2) мысленно приравниваем воображаемую ситуацию к реальной, при этом рассуждаем об этом воображаемом построении, применяя методы классической логики;
3) полагаем сконструированную нами бесконечность независимой от набора конструктивных операций;
4) принимаем бесконечную совокупность одновременно существующих объектов в качестве не связанных вообще с какими-либо конструктивными операциями даже и своим происхождением1.
«Арифметическая катастрофа» послужила сигналом к пересмотру концепции бесконечности и принципа введения математи-
_____________
1 Шанин H.A. Конструктивные вещественные числа и конструктивные функциональные пространства // Труды математического института им. В.А. Стеклова. 1962. № 67. С. 287-288.
ческих объектов на основе логического тезиса о непротиворечивости, реализуемого процедурой доказательства от противного. Неудовлетворенность традиционной позицией, на которой базировался логицизм, вызывали три момента.
Невозможность найти в бесконечном множестве заданный элемент именно потому, что число элементов бесконечно. По этому поводу Вейль иронизировал: бесконечное множество не может быть представлено элементами, которые бы расстилались перед нами так, что их остается по очереди перебрать, подобно тому как полицейский чиновник просматривает список задержанных в участке с целью обнаружить в нем лицо того или иного рода. Словом так: сокровище есть, но им невозможно воспользоваться, ибо не знаем, как его обнаружить. Или: у меня есть друг, однако я не знаю, каким образом его отыскать.
Против идеи актуальной бесконечности восставала интуиция. Заданная всеми элементами бесконечность уже не бесконечность. Множество потому и бесконечно, что не закончено, между тем его предлагают завершить, то есть фактически уничтожить и в то же время – сохранить как бесконечное. Это противоречие, ибо натуральный ряд мыслится как неограниченно продолженный.
Вызывало недоумение и то следствие теории, что в случае бесконечных множеств теряла силу аксиома – часть меньше целого. Действительно, если удается каждому элементу класса сопоставить один и только один элемент другого класса, значит, они равно-мощны, эквивалентны. Так, множество целых чисел натурального ряда эквивалентно множеству квадратов этих чисел, то есть часть оказывается равна целому, ибо невозможно указать какое-либо натуральное число, которому мы не могли бы сопоставить квадрат этого числа. Говорят, когда Кантор доказал (после трехлетних усилий) эту теорему о равномощности бесконечных множеств, он воскликнул: «Я вижу это, и я не верю этому».
Эти и другие моменты ставили под сомнение методы теоретико-множественного подхода Г. Кантора, а тем самым и концепцию логицизма. Математический объект принимается существующим, если он мыслим без противоречий, между тем сказанное (логические парадоксы, актуализация бесконечности, вывод о том, что часть равна целому) как раз свидетельствовало о глубине противоречивости в построениях Кантора1.
_______________
1 Имея в виду отмеченные неувязки, интуиционисты назвали канторову теорию множества любопытным «патологическим казусом», от которого грядущие поколения придут, вероятно, в ужас.