Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение.
Поскольку изначальной реальностью здесь выступает восприятие, нечто непосредственно (интуитивно) постигаемое и лишенное эмпирически достоверного, то математические объекты считаются полученными независимо от чего-либо внешнего разуму, являются свидетельствами интеллигибельного мира. Как заявляет, например, Г. Вейль, «числа суть вольные творения духа» 1.
Делается вывод об отрицании объективности математического знания. «Для математической мысли, – пишет, в частности, А. Гейтинг, – характерно, что она не выражает истину о внешнем мире, а связана исключительно с умственными построениями» 2 . Отсюда математическая теорема, по Гейтингу, – чисто эмпирический факт, именно успех некоторого построения, а сама математика есть изучение некоторых функций человеческого мозга. Эти установки нашли законченное выражение в известном афоризме Я. Бауэра «существует столько математик, сколько существует самих математиков».
Реализуя принципы потенциальной бесконечности, интуицио-нисты акцентируют внимание на процессах построения объектов вместо его результата. Принимается, например, закон построения чисел, а не их совокупность. Важно не что получить, а как получить. Следовательно, существовать – значит «быть построенным».
_____________
1 Вейль Г О философии математики. С. 52.
2 Гейтинг А. Интуиционизм. С. 17.
Математика объявляется не теорией, но родом деятельности, сводится до операционализма, ибо де записанные на бумаге результаты, знаки суть вторичное, первично же само их конструирование. «Интуиционистская математика, – настаивает Гейтинг, – есть мыслительная деятельность, и всякий язык, также и формализованный, представляет для нее только вспомогательное средство для сообщения»1.
Наконец, пересмотру роли закона исключенного третьего также соответствует известная философская платформа. Поскольку мы не можем знать, обладает некоторый элемент бесконечного множества заданным свойством или не обладает, то объективной истины нет. То, что мы называем истиной, суть творение мысли. Истина возникает в момент, когда удается данный элемент построить.
Заметим, что здесь интуиционизм смещает проблему с вопроса об истине к вопросу о способах ее верификации. Из того, что мы не в силах проверить на истинность какое-либо утверждение (например, есть ли жизнь на других планетах), это утверждение не перестает быть либо истинным, либо ложным. Воспользуемся следующей иллюстрацией, приводимой некоторыми математиками в полемике с интуиционизмом. Когда слепой вынимает шар из урны, где находятся белые и черные шары, и кладет обратно (при этом никто, кроме него, в этой ситуации не присутствует), то хотя установить конструктивным образом цвет вынутого шара невозможно, нельзя не признать, что вынутый шар либо черный, либо белый.
Интуиционистское неприятие закона исключенного третьего вызвало особо острую критику со стороны математиков, и не только тех, кто разделял идеи логицизма. Ибо затрагивался фундаментальный принцип математики, более того, дело касалось логической основы самого человеческого мышления. По отмеченному поводу Д. Гильберт заявлял: отнять у математиков этот закон все равно что забрать у астронома телескоп или запретить боксеру пользоваться кулаками. Поэтому, резюмирует Гильберт: «Запрещение теорем существования и закона исключенного третьего равносильно отказу от математической науки»2.
Преувеличенно-субъективные установки интуиционистов проявились и в полном игнорировании роли практической деятельности в оценке математических построений. Конечно, математика
______________
1 Heyting А. Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik // Berka K.., Kreiser L. Logik-Texte. Akademie-Verlag. Berlin, 1971. S. 173.
2 Гильберт Д. Основания геометрии. С. 383.
весьма далека от непосредственных примерок ее теорий к материально-производственной работе. Однако путем ряда опосредовании через естествознание, прикладную науку, технику и т.п. математическая мысль все же находит (или не находит) внешнее оправдание и проверку на истинность. Интуиционизм исключает вообще какие-либо подобные действия. В качестве критерия истины практика, по его убеждению, бесплодна, и обращение к ней не более чем попытка «перепрыгнуть через собственную тень». Функцию практического критерия замещает все та же интуитивная ясность суждений.
В итоге, как и логицизм, интуиционистское направление не смогло выполнить обещаний и предложить эффективные методы обоснования математики.
Попытка осуществить демонстрацию возможности существования математического объекта, опираясь на идеи интуиционизма, успехом не увенчались. С самого начала выступлений интуициони-стов возникло немало вопросов, нуждающихся в разъяснении, но так и не получивших его. Прежде всего, дело касалось фундаментального понятия базисной интуиции, ссылкой на которую и демонстрировалось оправдание факта введения объектов математики. Было заявлено о безусловной надежности актов изначальной интуиции, ее безупречной точности в качестве единицы математического мышления, благодаря чему якобы удается избежать неопределенностей, сопровождавших классическую математику. Как подчеркивал Г. Вейль, «в изложении Брауэра математика приобретает максимальную интуитивную ясность»1.
Однако вопреки подобным обещаниям, исходная интуиция в качестве основополагающего начала математических построений как раз и вызывала сомнения. Так, например, X. Карри отмечает в связи с этим, что касается понятия интуитивной очевидности, то это роскошь, без которой математика может превосходно обойтись. Более того, даже сами интуиционисты вынуждены были все-таки согласиться с критикой. Так, например, А. Гейтинг признал позднее: «Понятие интуитивной ясности в математике само не является интуитивно ясным»2.
В этом пункте обоснований позиция логицизма, следовавшего линии традиционной математики, которая в принятии математического объекта опиралась на постулат логической непротиворечивости, оставалась более предпочтительной, нежели ссылка на доста-
__________________
1 Вейль Г. О философии математики. С. 26.
2 Гейтинг А. 30 лет спустя. С. 225. –
точно расплывчатую базисную интуицию, хотя и здесь тоже, как мы видели, возникали принципиальные трудности. Равно и в вопросе обоснования истинности утверждений об этих объектах интуиционизм не достиг успеха, поскольку акцент был смещен с результата (готовый математический объект) на процедуру его построения, на самый процесс оперирования.
Тем не менее заявления лидеров интуиционизма были достаточно претенциозными, а их критика традиционной математики носила временами сокрушительный характер. Все это не могло не вызывать соответствующей реакции математиков, в свою очередь, не стеснявших себя в выражениях. Характеризуя усилия интуицио-нистов, Гильберт писал, например, что Вейль и Брауэр, стремясь спасти математику, «выбросили за борт все, что причиняет беспокойство. Они крушат и рубят науку. Если бы приняли такую реформу, которую они предлагают, то мы подверглись бы риску потерять большую часть наших самых ценных сокровищ» 1. Словом, от математики после ее переделки остаются, по мнению ряда видных ученых, жалкие остатки в виде немногочисленных и не связанных друг с другом единичных результатов по сравнению с могучим размахом современной математики. Не случайно Н. Бурбаки назвал интуиционизм «историческим курьезом».
Таким образом, интуиционизм не принес успокоения в математику. Многие ее разделы оказались в свете интуиционистских установок неприемлемыми. Верно, эти разделы вожди нового направления пытались уберечь, предпринимая перестройку здания науки. Однако вводимые ими построения оказывались громоздкими, по поводу чего высказывал огорчения даже Г. Вейль, несомненно последовательный сторонник концепции интуиционизма.