Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистского направления, конструктивисты отмежевались от субъективистских выводов его философии и внесли существенные уточнения в методы построения математических объектов, расширив базис конструкции.
__________________
1 Цит по: Рид К. Давид Гильберт М.: Наука, 1977. С. 202.
Молодое течение, прежде всего его отечественные представители (A.A. Марков, H.A. Шанин), подвергли критике философские установки интуиционистов: понимание истины, вопрос о критериях истины и др.
В частности, отказываясь от абстрактных показателей истинности математического знания, лидеры интуиционизма апеллировали к изначальной интуиции, подчеркивая ясность ее образований. Обращаясь к этой фундаментальной философской установке, A.A. Марков приходит к выводу, что она неприемлема. «Я никак не могу согласиться, – пишет он, – считать «интуитивную ясность» критерием истинности в математике, так как этот критерий означает полное торжество субъективизма и идет вразрез с пониманием науки как вида общественной деятельности»1.
Критике была подвергнута и интуиционистская идея «свободно становящейся последовательности», как несущая с собой мысль о бесконтрольности математического творчества перед постулатами логики, как деятельность, опиравшаяся на поток сознания, якобы, не детерминированный никакими внешними ему определениями. Не случайно, формулируя программу развития математики, Гильберт обязательным условием считал ее очищение от произвольных наслоений интуиционизма. «Задача науки и состоит в том, чтобы освободить нас от произвола чувств и привычки и предостеречь от субъективизма, который, как мне кажется, достиг своего наибольшего развития в интуиционизме»2.
Другим пунктом расхождений было следующее. Интуиционизм, принимая идею «свободно становящейся последовательности», предполагал в качестве «среды свободного становления» континуум. Однако, как замечает A.A. Марков, «судя по описаниям интуиционистов, свободно становящиеся последовательности не являются конструктивными объектами и их нельзя рассматривать, не привлекая абстракцию актуальной бесконечности»3.
Далее, конструктивисты не считают математическое построение чисто «умственным занятием» (как принято в интуиционизме).
______________________
1 Марков A.A. О конструктивной математике // Труды математического института им. В.А. Стеклова. Т. 17. С. 11.
2 Гильберт Д. Основания геометрии. С. 382. Гильберт удивлен, что «в среде математиков может иметь невероятнейшее и эксцентричнейшее влияние сила гипноза одного темпераментного и остроумного человека» (намек на бурную деятельность Брауэра).
3 Марков A.A. О логике конструктивной математики. М: Знание, 1972. С. 45.
Мысленный характер имеют не наши построения, а рассуждения о них (в частности, об абстракции потенциальной осуществимости). Принимается следующее определение: «Конструктивная математика... абстрактная, умозрительная наука о конструктивных процессах, о нашей способности осуществлять такие процессы и их результатах – конструктивных объектах». Примером конструктивного процесса может быть построение ряда вертикальных палочек I I I I I. Оно осуществляется посредством написания одной палочки, приписывания к ней справа другой, к полученным – еще одной, затем еще и еще одной. В итоге имеем конструктивный объект, изображенный выше. Назовем его натуральным числом, в нашем случае – «пять»1.
Конструктивизм разрабатывает понятие алгоритма как разрешающей процедуры, распадающейся на ряд строго задаваемых действий или предписаний в их четкой детерминированности. Алгоритм есть последовательность операций, шагов, где каждый данный шаг однозначно детерминирован предыдущим и, в свою очередь, столь же однозначно детерминирует последующий шаг, то есть мы знаем что и в какой последовательности надо делать (например, умножение, извлечение корня и т. д.). Отсутствие этого понятия тормозило развитие конструктивного направления.
Алгоритм вносит: а) точность предписания, не оставляя места произволу; б) возможность решения по одной и той же программе любой из некоторого класса задач, отличающихся значениями каких-либо параметров (массовость алгоритма); в) направленность, организуя на достижение известной цели и гарантируя искомый результат2. В 30-х гг. прошлого века A.A. Марковым развито понятие нормального алгоритма, серьезно повлиявшего на развитие конструктивных методов. Нормальный алгоритм есть стандартное предписание, определяемое его схемой. Благодаря предписанию, любое слово алфавита (последовательность символов или букв, образуемая из символов, принятых в данном алфавите) может быть преобразовано в некоторое другое слово. Алгоритм определяет и окончание процесса, хотя последний может и не наступить.
__________________
1 См.: Марков A.A. О логике конструктивной математики. М.: Знание, 1972. С. 4.
2 См.: Яновская С.А. Методологические проблемы науки. М.: Мысль, 1972. С. 188.
Вместе с тем уточняются логические основания конструктивной математики. В его фундаменте лежат те же логические установки, что приняты интуиционизмом: ограничение области действия закона исключенного третьего, иное понимание операций отрицания, уточнение импликации.
На основе идей конструктивизма были разработаны новые подходы, обогатившие математический анализ. Создается конструктивная теория функций действительного переменного. В ряду особо важных достижений теории исследователи отмечают доказательство теоремы о непрерывности конструктивных функций. Получили плодотворное развитие конструктивные теории дифференцирования и интегрирования, конструктивный функциональный анализ. Благодаря этому появились новые методы, способствующие прогрессивному развитию математической мысли, новым открытиям. Таковым было, например, достижение молодого отечественного математика конструктивистской школы Ю. Матиясевича, который установил в 1970 г. алгоритмическую неразрешимость 10-й проблемы Гильберта, ожидавшей своего часа целых 70 лет1.
Мы рассмотрели интуиционистское обоснование математики и его развитие конструктивистами. Следует отметить, что, несмотря на субъективно-идеалистические посылки интуиционизма, он вносит новое понимание проблемы и новые методы, оказавшиеся особенно успешными в части их ориентации на идею конструктивного построения математических объектов и имеющие, по мнению специалистов (в том числе и не-интуиционистского лагеря), хорошие перспективы.
Вместе с тем интуиционизм и конструктивизм, естественно, также не могли единолично решить проблему обоснования. На том, что сделано интуиционизмом и конструктивизмом, также не могла быть законченной работа по выявлению аспектов подхода к сущности математических объектов, оправданию правомерности их существования.
___________________
1 Вспоминается эпизод. Бухарест, 1971 г. Идет работа IV Международного конгресса по логике, методологии и философии науки. Председатель объявил: «Слово предоставляется профессору Матиясевичу». На кафедру вышел высокий юноша в белой рубашке с короткими рукавами, похожий скорее на студента или даже старшеклассника. По залу прошел гул недоумения, и председательствующий счел нужным пояснить, что профессор Матиясевич, хотя и молодой, но очень талантливый ученый. Заметим, что свой выдающийся результат он получил в возрасте 22 лет.