Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то свое, верно раскрыло определенные стороны математики, продвинуло понимание науки в ее основаниях. Попытаемся резюмировать «вклад» каждого из рассмотренных течений в решение проблемы.
Мы обязаны логицизму разработкой и практическими применениями эффективного (и не только для математики) аппарата символической логики как вспомогательного приема анализа математического содержания.
Характеризуя движение от традиционной формальной логики к математической, явившейся современным этапом ее развития, Г. Рейхенбах отмечал следующее. Простые операции в логике доступны выражению и без посредства символических оформлений. Однако состав сложных отношений уже невыразим. Введение символов позволило элиминировать специфические значения слов и обнажить общую структуру, которая соединяет их, расставляя по своим позициям соответственно универсальным отношениям. «Величайшей привилегией перед традиционными вариантами новая логика обязана тому, что она компетентна рассматривать отноше-
ния, которые не были доступны старой логике. Оттого символическая логика властна разрешать проблемы, о существовании которых прежняя логика даже и не подозревала»1.
Стоит особо отметить разработку логицизмом теории типов. Применение ее идей в анализе какой-либо области знания дает возможность провести четкую стратификацию области по уровням используемых понятий.
Одним словом, все это позволило уточнить математические понятия, выявить их отношения, дать систематическое изложение логических процедур, в рамках которых протекает математическое рассуждение 2.
Но дело не только в этом. Утверждение нового аппарата анализа содействовало прогрессу математики. В связи с этим Р. Гудстейн пишет: «Математическая логика имеет своей целью выявление и систематизацию логических процессов, употребляемых в математическом рассуждении, а также разъяснение математических понятий». И далее подчеркивает, что если открытия в какой-либо ветви математики проливают свет на некоторые ее основные проблемы, то открытия в математической логике освещают уже не отдельные проблемы, а почти все стороны математики3.
Таким образом, математическая логика возникла, имея назначение служить в качестве метода анализа оснований математики, но она переросла эти задачи и «оказала, – как отмечает отечественный математик П.С. Новиков, – существенное влияние на развитие самой математики»4.
Интуиционистское и конструктивное направления выявили иные возможности построения математических объектов, приоткрыв дверь в новые сферы математического мышления. Утверждается генетический метод задания теории, объекты которой принимаются как порождаемые, конструируемые в определенном порядке из ис-
__________________
1 Reichenbach H. Elements of Symbolic Logic. N.Y., 1947. P. 3.
2 Впрочем, обогащение было взаимным: логика стала более математической, а математика – более логической (Рассел). Френкель и Бар-Хиллел писали: «Резко разграничивать математику (которая сама по себе, конечно, хороша) и логику (которой каждый здравомыслящий математик должен ради блага своей души избегать) по меньшей мере бесполезно: математика постоянно использует логику, хотя это использование зачастую замаскировано и явно не учитывается» (Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания математики. С. 64).
3 Гудстейн Р.Л. Математическая логика. М.: Иностр. лит., 1961. С. 11.
4 Новиков П. С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. С. 7.
ходных. Дается индуктивное (в отличие от дедукции) определение. Для натурального числа, например, оно формулируется следующим образом: если m порождается раньше n по ходу порождения n, то мы определяем, что m < n. Еще раз подчеркнем неоценимое значение разработок понятия алгоритма и теории доказательства.
Особенно эффективными явились идеи конструктивной ветви течения, существенно уточнившие методы построения объектов. Причем эти методы не противоречат аксиоматическим. Дело в том, что аксиоматическое построение применимо к областям, имеющим развитые конкретные теории, путем обобщения которых и можно создать аксиоматику. «Ни одна ветвь интуиционизма, – резюмирует Гейтинг, – еще не разработана настолько, чтобы можно было построить общую аксиоматическую теорию предмета»1.
Специалисты предсказывают интуиционистскому движению большое будущее. Так, Г. Иве и К.В. Ньюсом отмечали, что интуиционистская математика является пока менее мощной по сравнению с классической. Ее построения более трудоемки и громоздки, потому многое из того, что дано большинству математиков, приносится в жертву. Тем не менее, продолжают они, ситуация может измениться, поскольку разрабатываются новые методы интуиционистского построения математики. Привлекает и то, что интуиционистский метод не может привести к противоречиям2. На Международном математическом конгрессе 1966 г. в Москве сообщалось, в частности, что с помощью более сильного, чем традиционный, принципа индукции, введенного Генценом, можно доказать непротиворечивость ряда арифметических утверждений. Аппарат базируется на модифицированной логике. Исследователи Шютте и Фе-ферман, еще более ослабив принцип индукции, получили логику, близкую обычной, и на ее основе доказали непротиворечивость положений не только арифметики, но и ряда других отраслей математического знания.
С успехами интуиционистского направления связано развитие дискретной математики, поскольку она опирается на дискретные операции, которые разрабатываются на базе идеи конструктивного построения объекта. В свою очередь, это (вместе с развитием математической логики) содействовало успеху в конструировании электронно-вычислительных машин, а в целом повлекло возмож-
__________________
1 Гейтинг А. Интуиционизм. С. 8.
2 См.: Иве Г., Ньюсом К.В О математической логике и философии математики. М.: Знание, 1968. С. 41.
ность расширения применений математики и математизацию таких сфер, как лингвистика, экономика, медицина, педагогика и психология, теория искусства.
Безусловно, лидерам рассматриваемого направления наука обязана пробуждением интереса к тем аспектам математического творчества, которые обозначены в литературе как интуитивные. Это требует более подробного рассмотрения, которое будет проведено позднее. Здесь же отметим лишь следующее. Внешне интуиция противостоит методам логики, строгого следования правилам логического вывода. При более внимательном же рассмотрении обнаруживается, что обе стороны научного творчества дополняют друг друга, содействуя, каждая своими средствами, единой цели поиска истины. А. Пуанкаре так резюмировал их «дополнительность»: посредством логики доказывают, посредством интуиции изобретают. Быть критиком хорошо, быть творцом еще лучше. Логика говорит, на этом или ином пути, наверно, мы не встретим препятствий, но о том, каков именно путь, ведущий к цели, она умалчивает. Увидеть цель помогает интуиция. Без нее математик скорее похож на того писателя, который безупречен в правописании, но у которого нет мыслей.
Разве математика исчерпывается правилами безупречной логики, спрашивает Пуанкаре. «Утверждать это, – пишет он, – все равно, что сказать, будто все искусство шахматистов сводится к правилам хода отдельных фигур – Надо ведь делать еще выбор из всех комбинаций, какие только можно сделать из материалов, доставляемых логикой». Аналогично и математик производит правильный выбор потому, что «им руководит какой-то надежный инстинкт, какое-то смутное сознание некоторой более глубокой, более современной геометрии...» 1 .
Таково значение внесенных интуиционизмом новых идей. Вместе с тем это направление ценно и в своей, так сказать, негативной части.
Мы имеем в виду открытую критику классической математики, критику, которую с прежних позиций, то есть оставаясь на почве «старой» математики, едва ли можно было провести столь последовательно. Критика заставила математику задуматься о себе самой, провести рефлексию над своим содержанием, принципами, методами. Это повлекло к более углубленному анализу природы науки, заставило быть более точным. В связи с этим Г. Вейль заметил, что под ударами Брауэра и его последователей многое, казав-
__________________
1 Пуанкаре А. Математика и логика // Новые идеи в математике. Пг., 1915. №10. С. 4.
шееся ранее бесспорным, было поставлено под сомнение, и математик со скорбью смотрел на то, «как словно туман расплывалась большая часть его высоко вознесшихся теорий»1.
На эту сторону деятельности интуиционистов обращал внимание также и Д. Гильберт.
Наконец, формализм. Его усилиями развита новая область математического метода – метаматематика (и еще шире – заложены идеи метатеоретического знания).
Когда А. Гильберт, формализуя аксиоматическое построение, ввел в качестве исходных объекты, лишенные какого бы то ни было конкретного содержания и в данном отношении «бессмысленные», этим еще не исключалась возможность формулировать о таких объектах содержательные высказывания. То, что символы не несут семантической нагрузки, лишь абстрактная иллюстрация системы. Однако ее структура поддается описанию на обычном, содержательном языке. Мы можем строить предложения о конфигурации знаков, фиксировать простоту, минимальность, симметричность «строк» (формул) и т. п.
Подобного рода высказывания о ненаполненных смыслом объектах формализованной математики принадлежат уже не ей самой, а метаматематике, то есть теории, в которой говорим о математических терминах и высказываниях. Гильберт и обосновывает метаматематику как науку о символах системы, их упорядочении, соединении в формулы и т. д. К примеру, выражение «2+2=4» есть предложение математики (арифметики), но выражение ««2+2=4» есть математическая формула» принадлежит уже метаматематике. Метаматематические знаки являют собой не сами математические символы, а их имена 2.
Значение этого метода шагнуло далеко за рамки математики. Стали различать вообще объектный язык (на нем ведется рассуждение в рамках данного предмета) и метаязык (на нем рассуждают
__________________
1 Вейль Г. О философии математики. С. 26.
2 Поясняя идею, Гильберт проводит аналогию между математикой и теорией шахматной игры. В рамках последней действуют лишь правила. Но фигуры и их положения не требуют интерпретации (хотя ее можно дать: пешки – солдаты, поля – географические районы и т.д.). Однако вне игры фигуры и положения ничего не значат. Говоря о правилах игры, мы и присоединяем некие, путь элементарные, но содержательные рассуждения, составляющие область «метатеории». Аналогично в рамках самой математики, ее синтаксиса, знаки лишены смысла и подчинены правилам оперирования. Рассуждения о правилах и знаках есть метанаука.
об объектном языке), соответственно: теорию (совокупность высказываний о предмете исследования) и метатеорию (система рассуждений о данной теории).
С успехами формалистского направления связано также развитие аксиоматического метода. Впрочем, здесь обнаруживается взаимосвязь: чтобы стать доступной для анализа в метаматематике, математика должна быть аксиоматизирована. На примере формализованной аксиоматики было показано, что важным в подобных построениях является выделение структуры системы, то есть совокупности отношений, в которые поставлены объекты, в то время как природа самих объектов остается неопределенной. Требуется лишь, чтобы объекты удовлетворяли выделенным отношениям. Этим формализм обратил внимание на необходимость уточнения математических отношений, как бы обнажая их.
Вообще, о формализме надо сказать, что его методы также содействуют выявлению более точных оснований, на которых покоится математическое рассуждение. В этом смысле формализм явился продолжением дела логицистов.
Здесь необходимо обратить внимание на следующее. В связи с доказательством К. Геделем своих теорем может возникнуть сомнение в надежности методов формализации и идей формалистского направления в целом. Однако теоремы Геделя не отвергают полностью того, что сделано представителями этого течения. Теоремы утверждают лишь невозможность абсолютно полной формализации теоретической системы, но они не налагают ограничений на варианты сколь угодно возможной формализации таких систем. Как отмечает Н. Бурбаки, «теорема Геделя... не полностью закрывает двери дальнейшим попыткам доказать непротиворечивость при условии отказа (хотя бы частичного) от ограничений Гильберта, касающихся «финитных процессов»1 .
Таковы главные результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Каждое из рассмотренных направлений вносит некие специфические идеи и методы в обоснование, раскрывая новые стороны монументального здания математики. Поэтому, решая проблему, надо действовать не разрозненными (тем более находящимися в состоянии вражды), а общими усилиями.
__________________
1 Бурбаки Н Очерки по истории математики. С. 183.