Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.
Осознавая, что каждое из направлений объясняет какие-то важные грани математики и потому имеет право на существование, их лидеры договорились о встрече. Она произошла в сентябре 1930 г. в Кенигсберге на симпозиуме, организованном редакцией известного тогда позитивистского журнала «Erkenntnis». Там впервые встретились деятели всех трех течений. Логицизм представлял Р. Карнап, интуиционизм – А. Гейтинг, формалистское направление – Д. фон Нойман.
Участники симпозиума пытались понять друг друга, хотя каждый все же считал, что именно его точка зрения правильная и никакой иной подход не вправе считать себя математическим. Тем не менее ситуация, характерная для периода конца XIX – начала XX столетия, изменилась, и если еще в недавнем прошлом между школами шли непримиримые сражения и никто не хотел внимать другому, то теперь вражда сменилась хотя и не полным согласием, но, по крайней мере, перемирием, желанием понять соперника.
Это принесло свои плоды, поскольку проявилось терпимое отношение к иным решениям, допустимость других методов исследования математики. Тем самым были созданы условия для новых подходов, что не замедлило сказаться в скором будущем. Так, характеризуя обстановку в области философских поисков оснований математики в шестидесятых годах ушедшего века, один из участников знаменательного симпозиума А. Гейтинг в статье с характерным названием «30 лет спустя» как раз и подчеркнул благотворное значение того события в разрядке напряженности и в появлении возможностей для новых решений.
Вспоминая эту встречу, Гейтинг замечает, что ныне обстановка совсем иная: бескомпромиссная борьба 30-х гг. «за право представлять единственно верную математику» сменилась «духом мирного сотрудничества». Теперь уже ни одно из направлений не осмеливается утверждать, что только оно провозглашает истину. «Философское значение исследований по основаниям математики, – заключает Гейтинг, – состоит... в разделении формальных, интуитивных, логических и платонистских элементов в структуре классической
математики и в точном определении области действия и ограничении этих элементов»1.
Конечно, противоречия не исчезли, дискуссии – тоже, но высказывание Гейтинга симптоматично. Оно констатирует возникновение атмосферы доверия между исследователями разных ветвей обоснования математики, наличие четких разграничительных сфер их деятельности, невмешательство в дела друг друга. Все это способствовало свободе творческих исканий и реализации свежих замыслов и решений.
Среди попыток нового подхода к проблеме обоснования во второй половине XX в. выделяют наиболее обозначившиеся аксиоматическое и неаксиоматическое (теоретико-категориальное) направления.
Современное аксиоматическое течение представляет попытку спасти аксиоматику как метод обоснования, подправив Г. Кантора. Его подход сочли ограниченным, а сам вариант назвали «наивной теорией множеств». Поскольку у Кантора множество не определено и принимается остенсивно (путем указания на объект), то есть как простая совокупность элементов, это означало, что любой набор элементов уже представляет собой множество. Именно такое понимание и вело к парадоксу «множество всех множеств»: о существовании и несуществовании самого мощного множества (мы рассматривали эту ситуацию в гл. V, § 3).
Новый подход, предложенный Э. Цермело и А. Френкелем, был связан с идеей отказа от понятия «наибольшее кардинальное число» и от понятия «множество всех множеств». Тем самым можно обойти указанный парадокс.
Дело в том, что, обосновывая возможность построения для любого сколь угодно мощного множества еще более мощное множество, опирались на аксиому выбора, которая звучит следующим образом. Если элементами множества £ являются непустые непересекающиеся множества С, то можно, взяв по одному и только одному элементу из каждого подмножества, входящего в К, образовать новое множество, которое будет на единицу больше исходного. Скажем, выбрав по одному жителю от каждого района некоторой районированной области, можем получить новое образование, обозначив его как дополнительный к имеющимся район, чем и увеличиваем мощность исходного множества районов области.
Однако до начала XX в. не задумывались над тем, каковы же основания подобного выбора. Утверждая, «взяв по одному элемен-
__________________
1 ГейтингА. 30 лет спустя. С. 224-225.
ту», не утруждали себя размышлениями, какими правилами мы при этом руководствуемся. То есть правила выбора нет. Указанное обстоятельство и побудило Цермело к заключению: поскольку правила нет, значит, выбор не обоснован и его проводить нельзя. Но если выбор невозможен, следовательно, нет и нового множества, которое оказалось бы более мощным, чем изначально имевшееся множество, в силу чего это последнее и остается самым мощным и никакого парадокса нет.
Казалось бы, проблема улажена. Теперь можно строить аксиоматику на новых основаниях, подводя под математическое здание строгий логический фундамент. Но снова выступил Б. Рассел. Он возразил упразднявшим (ввиду отсутствия правил) процедуру выбора доводом: выбор можно производить, вовсе не имея правила. Например, когда я выбираю пару ботинок из 100 штук, то руководствуюсь правилом «левый ботинок – правый ботинок». Однако когда я выбираю из 100 носков пару, здесь правило «левый – правый» не работает. Выбор идет без правил. Аналогично тому можно конструировать и более мощное множество, следовательно самого мощного множества не существует.
Впрочем, на это тоже нашли возражение. Если правила нет, а выбор осуществляться, значит, правило не необходимо, то есть можно обойтись без правил. Но выбор без правил есть акт веры, а не факт науки. В подобной ситуации возникает проблема, допустимо ли постулировать существование объекта науки, если не выделены его характеристики, согласно которым производится выбор? Все это указывает на то, что при аксиоматизации невозможно избежать неопределенности, а значит, возможных противоречий.
Неопределенность питается и тем обстоятельством, что любая аксиоматика, как правило, приложима к более широкой области, чем та, для которой строится, поскольку включает неопределяемые исходные понятия (мы уже затрагивали эту тему), а также потому, что природа аксиом не конкретна и сами аксиомы представляют функции-высказывания. По поводу этой аксиоматической неопределенности норвежский математик и логик XX в. Т. Сколем привлекает следующую иллюстрацию. Скажем, мы получили задание – перечислить свойства американцев. Но, перечисляя их, неизбежно укажем много людей, которые обладают названными свойствами, совсем не будучи американцами. Равно и проводя аксиоматизацию, берем свойства, под которые подходят объекты более широкой области, чем аксиоматизируемая.
Реализация процедуры аксиоматического построения математики сталкивается и с трудностями учета результатов теории типов Рассела. Теория продуктивна, но надо иметь в виду следующее. Ведь числа принадлежат разным классам – целые, рациональные – иррациональные. Из этого вытекает, что какую-либо теорему для вещественного числа мы должны сформулировать для каждого вида чисел отдельно, а это будет размывать сам принцип аксиоматизации как введение единых системообразующих оснований дисциплинарной области – исходных понятий (объектов) и исходных утверждений (аксиом).
Обратим внимание и на то, что, проводя аксиоматизацию теории множеств, Г. Кантор (за ним и остальные математики) верили в непогрешимость результата, верили, в возможность избежать противоречий. Однако противоречия, как видим, заявили о себе и основательно всколыхнули математику. Не произойдут ли сходные события при нынешних попытках? На сей счет А. Пуанкаре остроумно предостерег созидателей новых аксиоматик, заявив: мы соорудили ограду вокруг стада овец, чтобы защитить их от волков. Но нет ли волков среди самого стада?
Одновременно с попыткой аксиоматического обоснования математики во 2-й половине XX столетия развивается и неаксиоматическое направление. Оно представлено в основном группой математиков (по преимуществу французских), объединенных под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки. Сюда входят А. Кортан, Ж. Дьедонне, однофамилец Германа Вейля Анри Вейль, С. Эйленберг и др.).
Лидеры этого направления, называемого в литературе теоретико-категориальным, исходят из того, что ценность аксиоматики не в уточнении языка математики, а в установлении единства между всеми ее разделами. Этого можно достичь в силу того, что математика, по Бурбаки, представляет «скопление абстрактных структур», абстрактных форм1. Математическую структуру отличает от структур, выделяемых остальными науками, то, что здесь отвлекаются от конкретных характеристик как объектов, охватываемых структурой, так и самих структур, поскольку математика вообще не изучает отдельные вещи, а лишь их отношения, но и отношения здесь особые, ибо они не задаются свойствами вещей (у нас речь шла об этом в гл. II, § 1, 2).
Определить структуру – значит задать отношения, одно или несколько, в которых находятся элементы множества. Н. Бурбаки вы-
__________________
1 Бурбаки Н. Очерки по истории математики. С. 259.
деляет три основных (порождающих) типа математических структур. Это – алгебраические структуры, когда третий элемент определяется по двум первым; структуры порядка, фиксирующие отношения упорядоченности, обычно выражаемые в языке многоместными предикатами «равно», «больше», «меньше»; топологические структуры, построенные на реализации свойств непрерывности. Кроме того, на основе сочетания порождающих структур задают производные структуры. Например, топологическая алгебра, которая рассматривает соответствующие системы (то есть группы, подгруппы, кольца и др.), наделенные топологиями, в которых алгебраические операции этих систем непрерывны.
Однако отношения можно устанавливать не только между элементами множества, но и между самими множествами и подмножествами, притом разных типов (образуя так называемую «лестницу типов»). В связи с этим обращаются к теории категорий, разработанной современной алгеброй, вовлекая ее в решение проблемы философского обоснования математики.
Понятие категории принимается в значении общей структуры, которая и охватывает не одно, а несколько множеств, то есть выявляя отношения не внутри множества (между его элементами), а уже между различными множествами. Так, для описания структурных сходств и различий множеств используется понятие «морфизм», применяемое для обозначения элементов произвольной категории, которые выполняют функцию отображений множеств друг в друга. Фигурирует также понятие архетипа в качестве образца математических отношений.
Хотя рассмотренный теоретико-категориальный подход называют часто неаксиоматическим, он не чужд аксиоматике, поскольку и здесь выявляются аксиомы структур, упорядочивающие многообразия последних на основе неких исходных отношений.