Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика

 

Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (эксперимент, наблюдение и т.п.) приемах получения знаний. Как и отметили ранее, выделяем три вида критериев: количе-

__________________

¹ Мопертюи П. Согласование законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми // Вариационные принципы механики. М., 1959. С. 25.

²Блок А. Возмездие//Собр. соч.: В 8 т. М; Л., 1960. Т. 3. С. 301.

 

ственные, логические и эстетические. Теперь возьмем их поименно, в персоналиях.

Прежде всего, это показатели чисто количественных характеристик компонентов знаковых выражений знания. Речь не идет только о математических текстах, но о любом содержании, где встречаются количественные обозначения.

Имеется в виду использование минимальных показателей степеней, коэффициентов, радикалов и т. п. В формулах физических, химических законов, например, обычно фигурируют величины первой или второй степени (F = ma; ε = mc²), реже третьей; если встречаются корни, то квадратные, кубичные, не более. В математике разработано и выполняется понятие строгости как процедуры доказательства, где нет ничего лишнего, есть только то, что необходимо и достаточно.

Образцом четких теоретических построений являются дедуктивные системы, неизменно сопровождающие математику. Одно же из требований дедуктивной теории, напомним, – минимум исходных объектов. С другой стороны, аксиомы в качестве исходных положений должны быть независимы, то есть невыводимы из каких-либо других положений, ибо тогда аксиомы оказывались бы лишь следствиями, несущими избыточную информацию. Иными словами, с аксиомами также связано требование минимальности, что и выступает показателем простоты, добиваясь которой, ученый приближается к истине.

Под влиянием количественных показателей было сформулировано знаменитое методологическое правило «бритва Оккама». Известный средневековый схоласт Вильям Оккам вводит (XIV в.) ставшее весьма популярным требование к ученому: «не следует умножать сущности сверх необходимого». То есть надо принимать только те объекты и значения, которые соответствовали бы их количеству, наличествующему в самой природе. Все, что сверх того, необходимо безжалостно срезать подобно действию лезвия бритвы.

Количественные характеристики являются эвристическими, вспомогательными в том смысле, что представляют собой методы непрямого действия. Они лишь ориентируют поиск на принятие наиболее минимальных значений, в которых может содержаться истина. Но это еще не сама истина, а лишь ее проявление в свойствах количественных описаний.

Вторым видом внеэмпирических определений истины отметим логические критерии. В их ряду (стройность, последовательность

 

изложения, транзитивность, простота и т. п.) особо выделяется явление симметричности (от греч. «симметрия» – соразмерность).

По определению, симметричным считается такое распределение тел или их элементов, когда одна часть заполненного пространства оказывается как бы зеркальным отображением другой части. Логически аксиома симметричности записывается следующим образом: отношение aRb (где a и b – переменные, a R – знак отношения, в нашем случае симметрии) симметрично, если выполняется bRa. To есть а относится к b так же, как b относится к а. Или кратко aRb®bRa. Скажем, отношение «брат». Если Василий – брат Петра, то и Петр – брат Василия. Но отношение «брат – сестра» – уже несимметрично: он к ней относится как к сестре, а она к нему – как к брату. Кстати, в немецком есть понятие «Geschwester», которое одним словом и фиксирует это отношение как симметрию.

С точки зрения эвристических применений симметрия сыграла очень заметную роль. Г. Вейль считает даже, что, по сути дела, большинство научных результатов добыто с помощью метода симметрии¹. Остановимся на двух из них – создание уравнений электродинамики и открытие позитрона.

Размышляя над явлениями электромагнетизма, английский физик XIX в. Д. Максвелл обратил внимание на то, что описание динамики этого процесса неполно. Наличный опыт его времени позволял фиксировать отклонение магнитной стрелки вблизи проводника, по которому шел электрический ток (эксперимент Эрстеда). Однако симметричный этому эффект аналогичного воздействия изменений магнитного поля на электрический ток в ту пору обнаружен не был. Это давало право представить уравнение электромагнитных движений лишь в следующем виде:

 

 

То есть ученый, исходя из идеи единства природы, внушенной М. Фарадеем, почувствовал, что должно иметь место также обрат-

__________________

¹ Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968. С. 37.

 

 

 

ное воздействие магнитных сил на электрические, благодаря чему он и вводит в уравнение соответствующую симметричную компоненту.

То явилось великим прозрением. Четверть века спустя немецкий физик Г. Герц в эксперименте доказал существование электромагнитных волн, оправдав тем самым теоретическое предвидение Максвелла, высказанное лишь на основе постулата о симметричности электрических и магнитных явлений.

Пример поучителен. Фактически Максвелл не имел права написать уравнения электродинамики так, как он это сделал, в связи с чем видный австрийский физик XIX в. Больцман и заметил: «Уравнения Максвелла выведены неправильно, но сами они правильны. Не Бог ли начертал их?» Не случайно, характеризуя теорию Максвелла, кто-то из ученых же припомнил слова Гете, сказанные, правда, по другому поводу:

 

War es ein Gott, der diese Zeichen schrieb,

Die mir das innre Toben stillen,

Das arme Herz mit Freude füllen

Und mit geheimnisvollen Trieb!¹

 

Кто из богов придумал этот знак?

Какое исцеленье от уныний

Дает мне сочетание этих линий.

Расходится томивший душу мрак.

 

Поистине, слегка перефразировав С. Батлера, можно сказать: «Наука [у Батлера – жизнь – А.Б.] – это искусство делать верные выводы из неверных посылок».

Другой, не менее впечатляющий факт эвристических приложений вторичного критерия симметричности – открытие английского физика XX в. П. Дирака.

Работая с уравнениями электрона, Дирак чисто математически обнаружил значения с отрицательной энергией, ответственность за существование которой не брала на себя ни одна из известных тогда элементарных частиц. Сам электрон несет отрицательный заряд, что и дает положительную энергию. Но что является носителем отрицательной энергии? Дирак предположил существование наряду с электроном еще одной частицы – антиэлектрона, который и виновен в появлении энергии с отрицательными значениями.

Это было по тем временам неслыханное заявление. Над Дираком посмеивались, вышучивали: это, дескать, все равно, как если

__________________

¹ См.: Goethes Werke. Leipzig Verlag der Literaturwerke. Minerva, S.l. Dritter Band. S. 23.

 

бы некий человек утверждал, что у него есть брат, но он женского рода. Однако Дирак не сдавался, а через четыре года американский физик К. Андерсон обнаружил в космических лучах эти самые антиэлектроны, несущие положительный заряд, образуя отрицательную энергию. Они получили название – позитроны. Вскоре (1933 г.) Дирак был удостоен за свое открытие Нобелевской премии.

Как видим, и здесь решающим оказался не эмпирический факт (который лишь позднее подтвердил правоту ученого), а сугубо теоретическое соображение, опирающееся на идею симметрии. Более того, получая Нобелевскую премию, Дирак пророчески объявил, что у каждой элементарной частицы есть своя античастица, что послужило плодотворно работающим эвристическим и методологическим инструментарием для последующих поколений физиков.

Важную функцию в математическом поиске выполняет эстетический фактор. Вообще познавательная деятельность многими нитями связана с эстетическими переживаниями. И. Кант в свое время говорил, что «если знания должны быть поучительными, они соответственно должны быть... еще и прекрасными»¹.

Но здесь нас занимает лишь один аспект этих связей – участие эстетического начала в качестве критерия истины. И в этом ему принадлежит заметная роль, особенно в области точных наук. Как заявляет английский математик XX в. Т. Харди, «красота есть первый пробный камень математической идеи», ибо «в мире нет места для уродливой математики»². Характерно признание П. Дирака: «Я чувствую, – писал он, – что теория, если она правильна, должна быть красивой, так как мы руководствуемся принципом красоты, когда устанавливаем фундаментальные законы», например в исследованиях, опирающихся на математику. И «если уравнения физики некрасивы с математической точки зрения, то, – продолжает Дирак, – это означает, что они несовершенны и что теория ущербна и нуждается в улучшении»³.

Стоит заметить, что П. Дирак очень часто возвращается к этой теме, настаивая на эстетической значимости физических и математических построений. Он напоминает об этом во введениях к книгам «Основы квантовой механики», «Электроны и вакуум», в ста-

__________________

¹ Кант И. Логика. Пг., 1915. С. 29-30.

² Харди Т. Исповедь математика // Математики о математике. М.: Знание,
1967. С. 12.

³ Исследования по истории физики и механики. М., 1988. С. 98.

 

тье «Эволюция взглядов физиков на картину природы», опубликованную в 1963 г. в журнале «Вопросы философии». Характеризуя творчество коллег, Дирак то и дело привлекает эстетические оценки. Так, комментируя результат, полученный Эйнштейном, он подчеркивает тот факт, что, не располагая какими-либо новыми по сравнению с предшественниками экспериментальными данными, Эйнштейн делает вывод о кривизне пространства целиком на основе лишь эстетических соображений. И хотя позднее правота ученого была подтверждена в эксперименте, «я считаю, – резюмирует Дирак, – что основная мощь теории Эйнштейна – в ее исключительной математической красоте» .

Примечательный факт. Как-то еще в середине прошлого века Дирак был приглашен в СССР, где выступил с лекцией в Московском университете. А у физиков МГУ есть обычай: выдающиеся гости, прочитав лекцию, тут же на стене физической аудитории оставляют автограф с любимым высказыванием. Дирак написал: «Физический закон должен быть математически изящен».

Об эвристическом значении критериев красоты в математическом поиске говорят и многие другие большие и не столь большие ученые – Гейзенберг, Гаррисон, Эйнштейн.

Критерий заявляет о себе еще на дальних подступах. Так, А. Пуанкаре считает, что в нас сидит «эстетический сторож», который уже при самом зарождении идей отметает некрасивые математические решения, даже не допуская их к рассмотрению. Обращаясь к формуле закона тяготения, например, отечественный физик второй половины XX в. А. Китайгородский замечает следующее.

Напомнив уравнение F=γ ^m1m2/r² Китайгородский пишет, что если бы в числителе вместо произведения масс т₁ и т₂ фигурировала, скажем, сумма (т₁+ т₂), а в знаменателе вместо r² находилась бы г в девятой степени, такая формула сразу же отталкивала как неэстетическая, некрасивая и потому неверная.

И уже затем после этого первого досмотра ученый осуществляет выбор между допущенными к конкуренции вариантами, когда выносится окончательный эстетический приговор в пользу наиболее совершенного, сполна удовлетворяющего эстетическому вкусу математического описания.

__________________

¹ Дирак П. Электроны и вакуум. М., 1937. С. 4-5.

 

Остается непроясненным, а что же именно полагать красивым, каковы критерии самого этого критерия истинной теории? Это те же количественные (основанные на минимальности значений ) и логические (симметрия, стройность и т. п.) характеристики, но пропущенные через эстетическое чутье ученого. Как пишет, например, математик Б. Гнеденко, «результат считается красивым, если из малого числа условий удается получить общие заключения, относящиеся к широкому кругу объектов».

Поэтому так важно воспитывать у исследователя восприятие прекрасного, способность схватывать и ценить красоту. Без достаточно развитого эстетического чувства, подчеркивает Пуанкаре, никто никогда не станет крупным творцом в математике.

В связи с этим стоит отметить исключительную роль искусства. Но это уже особый разговор.