Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая самые общие свойства реального мира. «Именно потому, что в математике употребляются абстракции высоких уровней, – пишет, например, А. Вахидов, – мы имеем дело с «жесткими» объектами, в которых выделено лишь самое существенное, относящееся к их количественной природе» 1. В силу этого их «жесткость» проявляется как выражение глубоких инвариантов, не подверженных никаким изменениям в операциях действия с ними, не утрачивающих своих свойств.
Оценивая математику как науку, достигающую высшей меры абстрактности, А. Насынбаев особо выделяет опосредованный характер ее понятий, поскольку она работает не с предметами природы, а с их мысленными идеализациями, ибо в мире нет идеальных окружностей, треугольников, квадратов. Насынбаев пишет: «Математическая наука непосредственно не изучает самое действитель-
___________
1 Вахидов A.B. Специфические черты математической строгости // Философские науки. 1982. № 3. С. 146.
ность, она ее исследует опосредованно, через призму абстрактных объектов», являющихся «идеальными моделями, образами реальных объектов»1.
Все это, безусловно, справедливо: и высокая абстрактность, и «жесткость», и опосредованность. Но это еще не вся правда о математике.
Достаточно отвлеченной степенью общности и даже всеобщности владеют и некоторые другие науки. Не только философия, а также физика, логика. Равно и характеристика «жесткости». Вообще, делая заявления относительно физических объектов, не приходится говорить о постоянстве структур и размерностей, поскольку на границах тел непрерывно совершаются перемены, подтачивающие инвариантную строгость. Тем не менее в определенных рамках эти объекты принимаются себетождественными. Считается, что математические объекты в наибольшей степени удовлетворяют закону тождества, ибо они настолько обработаны мыслью, что им не оставлено возможности для каких бы то ни было изменений. Но вот, что отмечает Л. Витгенштейн.
Возьмем строку, составленную из ста миллионов математических знаков. А затем вернемся к ней, скажем, через один час. Разве она за это время не может измениться? Ведь строка с подобным количеством знаков необозрима за указанный срок времени. Иначе сказать, сверхдлинные строки знаков оказываются нежесткими и потому к ним не должно быть доверия. Следовательно, и по параметру «жесткости» математические объекты отличаются от объектов, с которыми оперируют другие науки, в лучшем случае лишь количественной мерой.
Наконец, свойство математики представлять опосредованное отношение к миру. В этом особой привилегии у нее нет. Любая наука, если она желает быть теоретической, адресует свои высказывания реальности не прямо, а через концептуальные системы, добытые логико-гносеологической реконструкцией чувственно данного. Так, в классической механике материальные тела представлены идеализированными образами материальных точек и абсолютно твердых тел. В еще большей степени теоретичны и опосредованны понятия неклассической физики.
___________
1 Абдильдин Ж., Насынбаев А. Диалектико-логические принципы построения теории. Алма-Ата: Наука, 1973. С. 222.
Таким образом, с точки зрения общности, инвариантности и теоретизации математика не составляет исключения, отличаясь лишь уровнем обобщений или глубиной ее инвариантов. Специфика математики не в степени абстрактности, «жесткости» и т. п. ее объектов, а в самой природе абстракции, которая является отвлечением не просто свойств, а свойства свойств, представляя в силу этого абстракцию от абстракции или предикат от предиката'. Остановимся на этом подробнее.
Любое понятие имеет объем (экстенсиональная характеристика) и содержание (интенсиональное описание). Объем – это совокупность предметов, элементов, охватываемых данным понятием, их множество, класс. А содержание есть совокупность свойств, признаков, которыми обладают элементы и благодаря которым они входят в объем соответствующего понятия.
Символически понятие записывается в виде логической функции (об этом подробнее пойдет речь позднее) P(x)лг), где P – предикат, фиксирующий определенное свойство, а x – переменная, пробегающая значения индивидов предметной области, обнимаемой понятием. Если предикатом является выражение «быть человеком», то в качестве значений переменной x должны выступать имена конкретных людей. Тогда при подстановке вместо переменной определенных имен будем получать либо истинные («Аристотель – человек», «Сократ – человек» и т.п.), либо ложные (скажем, «Буцефал – человек». Логики тоже шутят: Буцефал – это конь Александра Македонского) высказывания. Тем самым мы определяем предметную область понятия, включающую лишь те объекты, имена которых при подстановке вместо переменной дают истинные высказывания.
Теперь возьмем математическое понятие. Например, число, притом вначале не абстрактное число вообще, а конкретное: 5, 7, 812 и т. д.
Обнаруживается, что в качестве предиката количественная характеристика не может относиться непосредственно к пересчитываемым предметам. Поскольку каждая вещь только одна, то никакие иные числа, кроме единицы, будь они свойствами вещей, не могли бы вообще появиться. Скажем, мы утверждаем: «Здесь находится 5 человек». Значит ли это, что каждый из них обладает свойством «быть пятью»? Конечно, нет. «Числа, – замечают Р. Курант и
______________
1 В отечественной литературе подобное определение можно найти в монографии: Рузавин Г.И. О природе математического знания. М.: Мысль, 1968. С. 41.
Г. Роббинс, – решительно никак не связаны с индивидуальной характеристикой считаемых объектов»1.
Но если число не имеет никакого отношения к предметам, которые оно обозначает, что же тогда оно описывает? Каковы те элементы, которые составляют объем числового понятия «пять»? Количественная характеристика относится не к отдельным вещам, а к их совокупностям, к целым множествам, которые и образуют объем соответствующего числа, выступающего как понятие. В качестве же содержания такого понятия фигурирует само числовое значение – «быть пятью», «быть семью» и т.д. В связи с этим Д. Гильберт и В. Аккерман пишут: «Индивидуумами, которым некое вещественное число присуще, не могут быть сами пересчитываемые вещи... Наоборот, число можно понимать как свойство того понятия, под которое подпадают избранные индивидуумы». И далее авторы поясняют. Из того, например, что число частей света пять, вовсе не следует, будто это характеристика каждой из частей. «Но свойством предиката «быть частью света» является то, что он выполняется точно для пяти индивидуумов»2.
Таким образом, число есть свойство целого класса объектов, каждый из которых, в свою очередь, содержит соответствующее число вещей (индивидуумов). Скажем, число 5 – это класс всех пятерок, 7 – множество семерок и т.д. То есть получается, что число представляет собой класс классов. К примеру, берем число 5. В качестве, так сказать, первичных классов здесь выступают конкретные пятерки – исходные абстракции, а их совокупность, собранная под крышей числа «пять», оказывается уже классом классов или абстракцией от абстракции.
Это арифметика. На порядок выше абстракция в алгебре, где символ обозначает уже не конкретное число, но любое число (точнее, число, определенное порядком). Это переменные, которые пробегают любые числовые значения – a, b, c. Скажем, в формуле (a2-b2) = (a+b)(a-b) вместо a и b можно подставлять любые конкретные числа, и результат будет верным. Из этого следует, что в алгебре мы имеем дело с классом, который составлен из классов, включающих конкретные множества. Однако есть абстракции еще более высокого порядка, когда символы обозначают не только математические объекты. Например, алгебра логики Буля.
____________
1 Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М: Просвещение, 1967. С. 24.
2 Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М, 1947. С. 174.
Конечно, абстракции, (как и абстракции более высоких порядков) имеют место и в других науках. Кроме того, последние оперируют и математическими объектами (особенно физика). Не значит ли это, что у математики никакой специфики нет?
Дело в том, что собственно математический подход отличается от остальных наук. Так в случае с числами. Оперируя с совокупностями конкретных объектов и ставя их в одно-однозначное соответствие (то есть образуя математическую абстракцию числа), математик не анализирует свойства входящих в совокупности объектов. Он берет в качестве исходной абстракции сами совокупности, здесь важно не «что», а «сколько». То есть в алфавит математического языка включаются объекты не ниже первого типа (классы, классы классов и т. д.). В других же науках алфавит составлен из объектов нулевого типа (вещи). Подробнее об этом в связи с теорией типов Б. Рассела (гл. V, § 4). Аналогично точка в физике хотя и не имеет измерений, но обладает массой, математическая точка не наделена никакими физическими свойствами. Свойство же размерности путем предельного перехода сведено к нулю.
Стоит отметить и особый характер философских понятий, которые по степени абстрактности сравнимы с математическими. Отличие состоит в том, что философские понятия не имеют ближайшего рода, как это присуще остальным понятиям, когда указываются признак рода (genus proximum) и видовые признаки (differentia specifica), отделяющие данный подкласс от других подклассов родового класса. Это обусловлено тем, что философский объект нельзя подвести под более широкий класс, поскольку он обладает предельными, самыми общими свойствами. Единственный способ их определения друг через друга: причина – то, что предшествует следствию и вызывает его; сущность есть основа того, что является; содержание – это что содержится, а форма – как оно содержится, количество переходит в качество; необходимость – реализация случайности. В силу отмеченной особенности философские понятия именуют категориями, а способ их определения в известной мере напоминает прием, который используется математикой в аксиоматических построениях. Там исходные объекты тоже не определяются, но по другой причине: попытка ввести дефиницию чревата уходом в бесконечность (regressus in infinite). Используются так называемые имплицитные определения, то есть через аксиомы. Об этом речь позднее в связи с формалистским обоснованием математики.