Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле.
По определению, логическое представляет выводное знание, получаемое благодаря соблюдению правил логики при извлечении результата из соответствующих посылок.
Логическое есть синоним сознательного. Сознание же оценивается как высшая форма отражения и осмысления мира, его идеального воспроизведения. По мнению А. Эйнштейна, сознание реализуемо в виде знания, целесообразной деятельности и самосознания. Это проявляется как способность человека дать отчет в форме однозначно фиксированных в знаках языка (слов, понятий, символов) значений в силу способности точно соотносить знак и обозначаемый им объект. Целесообразность понимается в виде умения строить в мысли модели будущих результатов деятельности, которые еще предстоит получить. Высшим пунктом сознания является самосознание, то есть акт выделения человеком себя из окружающей среды и противопоставление своего Я другим людям и объектам последней.
Интуиция рассматривается в ряду проявлений бессознательного, которое, в свою очередь, аттестуется как отсутствие в данный момент способности (или возможности) поставить нечто под контроль сознания.
В сопоставлении с логическим в качестве выводного знания интуицию обычно определяют как прямое усмотрение истины без осознания непосредственно тому предшествующих операций мысли. Как пишет поэт:
Пять чувств – дорога лжи.
Но есть восторг экстаза,
Когда нам истина сама собой дана.
К. Бальмонт
«Сама собой» и означает безвыводное знание, наитие, просветление, озарение. Это не значит, конечно, что оно получено на голом месте и что этому не предварялось вообще никакой работы мысли. Это значит только, что факт просветления, обнаружения мыслью результата происходит именно в данный момент, то есть вдруг, а не на пути размышлений. Интуицию характеризуют как созерцание уплотненных смысловых единиц, свернутых во внутренней речи индивидуума, у каждого сообразно его специфической неповторимости.
Как видим, задаваемые приведенными определениями (равно и многими другими дефинициями) логическое и интуитивное разведены противостоянием, что считается общим местом всех обращающихся к этому сюжету. Порой осознание подобной оппозиции ведет к взаимоисключающим оценкам роли логики и интуиции в математическом исследовании. Высказываются достаточно крайние точки зрения. Одни ученые готовы вообще отрицать позитивную роль логики в математическом открытии. Так, А. Пуанкаре, например, пишет: «Я лично в логистике вижу только одни путы для творчества...» 1. Конечно, Пуанкаре не отрицает роль логики в мышлении математика, но считает, что она – лишь орудие доказательства, тогда как собственно творческая деятельность принадлежит одной интуиции.
Другие, напротив, такими путами считают интуицию, обременяющую, по их мнению, мысль ученого. В частности, Ф. Дайсон за-
__________________
1 Пуанкаре А. Математика и логика. С. 17.
являет: «Математическая интуиция оказывается чаще консервативной, чем революционной, она чаще сковывает, чем освобождает»1.
По-видимому, подобное противопоставление отражает каждое из мнений только как одну из характеристик, которой недостает полноты, раскрывающей истину лишь в сочетании с другой характеристикой. Обращаясь к методам работы, по собственным признаниям математиков, необходимо признать, что в поисках истины одинаково важны как логические, так и интуитивные акции мышления. Следовательно, речь может идти о признании роли той и другой направленности мысли, но каждой на своей позиции.
В оправдание возможности подобного сочетания противоречи-востей сошлемся на мнение видного теоретика психологии Л. Выготского, который подчеркивал: «Бессознательное не отделено от сознания какой-то непроходимой стеной. Процессы, начинающиеся в нем, имеют часто свое продолжение в сознании, и, наоборот, многое сознательное вытесняется нами в подсознательную сферу»2. По современным представлениям, нет особых мозговых структур, которые бы обеспечивали работу бессознательных, интуитивных процессов. Это те же структурные образования, что продуцируют сознательные операции, только они функционируют в ином режиме деятельности. Интуитивные процессы протекают не в линейной последовательности, как это происходит при логической работе, а мозаично, когда одновременно участвуют разные зоны мозга, что обеспечивает более высокую скорость мысли на порядки выше, чем в логических операциях. А. Колмогоров сравнивает это с тем, как мыслит слаломист, вынужденный лихорадочно решать задачи в сравнении со спокойным спуском, аналогичным логической работе.
Возвращаясь к математике, отметим, что наиболее детально рассматриваемую проблему сочетания интуитивного и логического строя мышления осветил известный французский математик середины XX в. Ж. Адамар, эмигрировавший в свое время в США. В книге «Исследования психологии процесса изобретения в области математики» Адамар вслед за английским биологом конца XIX – начала XX в. А. Уоллесом (см. его книгу «Искусство мысли») выделяет четыре этапа творческого поиска математика на пути к истине: подготовка (постановка проблемы), инкубация, озарение и проверка (или доведение результата). Остановимся на них подробнее.
_________________
1 Дайсон Ф. Математика и физика // Успехи физических наук. 1965. Т. 85, вып. 2. С. 355.
2 ВыготскийЛ.С. Психология искусства. М., 1965. С. 94.
2. Этапы творческого процесса
а) Постановка проблемы. Исследовательский процесс начинается выделением проблемы. Это осознание трудности, когда перед наукой возникает вопрос, на который она не может дать ответа. Обычно это происходит в ситуации упорядочивания наличного знания, его систематизации, классификации. Английский математик ХГХ в. Л. Морделл, отвечая на вопрос, как возникают математические проблемы, отметил большое значение бесед, просьб о помощи со стороны нематематиков. Указал особо на то, что этому способствуют научные доклады и семинары. Нередко, продолжил он, проблема осознается в процессе подготовки лекций и порой прямо во время чтения лекции1.
Характерный факт. В свое время царское правительство предприняло попытку повысить уровень образованности своих чиновников. Решили организовать для них циклы лекций (своего рода курсы повышения квалификации). Н. Лобачевского попросили прочитать раздел геометрии. Чтобы изложить дисциплину более строго, он решил упорядочить содержание и в связи с этим представить постулат о параллельных как теорему, логически выводимую из остальных постулатов. Но, пытаясь это сделать, Лобачевский неизменно сталкивался с тем, что при доказательстве он всякий раз вынужден был ссылаться на положение о параллельных. То есть он пришел к выводу, что перед ним не теорема, а аксиома. Тогда и явилось предположение: если тезис о параллельных независим от других основоположений геометрии, почему бы не попытаться построить концепцию пространства, опираясь на совершенно другое, чем у Эвклида, понимание параллельности. Так возникла проблема.
Надо отметить, что попытки логически вывести постулат о параллельных предпринимались математиками и до Лобачевского. Известную осторожность в утверждении безусловности постулата о параллельных высказывал уже сам Эвклид. Позднее сомнения обнародовал Плейфер (XVIII – начало XIX в.). Пытался вывести эту аксиому из других и Гаусс2. Вообще, желаний упростить постулат о параллельных и предъявить его в качестве теоремы оказалось настолько много, что Даламбер в свое время назвал это «сандалом оснований геометрии». Таким образом, математическая мысль уже издавна билась над вопросом о параллельных. Эти поиски и завершил Лобачевский, подытожив размышления постановкой пробле-
_________________
1 Морделл Л. Размышления математика. М.: Знание, 1971. С. 16.
2 Подробнее см.: Клайн М. Математика: Поиск истины. С. 169-171.
мы, которая явилась в результате логического упорядочения содержания геометрии.
Этап подготовки характерен не только осознанием того, где искать, но и вхождением, «вживанием» в проблему, благодаря чему все ее изгибы и нюансы глубоко осваиваются исследователем, который, по выражению Г. Гельмгольца, готов пройти ее «наизусть». О процедуре продумывания задачи, ее расчленении на части, варьировании условия, перекомбинации деталей, введении новых компонентов и т. п. говорит и Д. Пойа, подчеркивая тем самым роль логического фактора в начальной стадии математического поиска.
б) Инкубация. Но вот проблема поставлена. Если она достаточно глубока, решить ее средствами логики невозможно, поскольку здесь требуется принципиально новая теория, а логические операции способны обеспечить лишь преобразование наличной информации из одной знаковой формы в другую, без приращения новой информации.
Основное преимущество инкубации как интуитивной деятельности – включение бессознательных механизмов, освобождающих мысль от контроля, диктата Я, неизбежно навязывающего логический путь решения, уводя к старой теории. А. Пуанкаре, оставивший немало тонких наблюдений о математическом творчестве, отмечает, что в области сознания все подчинено логике, строго ранжировано, «в подсознании же царит, напротив, то, что я называю свободой, если можно назвать этим словом простое отсутствие дисциплины и беспорядок, рожденный случаем»1.
В стремлении оттенить бесконтрольность творческого процесса Д. Пойа подчеркивает, что идеи приходят, когда они этого захотят, а не в то время, когда мы желаем их прихода. Ждать идею – то же, что ждать выигрыш в лотерею. И далее иллюстрирует мысль стихами английского поэта Самюэля Батлера:
All the inventions, that the world contains,
Were not by reason first found out, not brains,
But pass for theirs who had luck to light
Upon them by mistake or oversight2.
_________________
1 Пуанкаре А. Математическое творчество. Юрьев, 1909. С. 5.
2 Все изобретения обязаны рождением
Не разуму людей, не тонким рассуждениям,
Они дались тому, кто счастлив был.
Он свет на них нечаянно пролил.
См.: Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970. С. 243. Заметим, однако, что идеи появляются всегда лишь после того, как пожелают их прихода. Иначе говоря, выиграть может лишь тот, кто купил лотерейный билет, то есть кто посвятил свои дни научной проблеме.
Имеющая место на стадии инкубации бесконтрольность, неосознанность мыслительной деятельности позволяет вовлечь в поиск весь личный опыт, все знания, ибо исследователь во власти свободы ассоциаций. Поэтому под бессознательным иногда и понимают все то, что человек в данный момент не осознает (и не в его власти определять, что именно вспомнится ему в следующий миг). В связи с этим Гальтон сравнивал область неосознаваемого с приемной вельможи, где в ожидании аудиенции толпятся многочисленные посетители. Тэн использует по аналогичному поводу образ сцены с рампой и необъятной, скрытой глубиной, из которой появляются персонажи.
Здесь важно подчеркнуть, что плодотворность поиска – в прямой зависимости от запаса знаний и опыта исследователя: чем они разнообразнее, тем богаче ассоциации, тем вероятнее успех.
Однако самое важное, что бесконтролие сознания способствует разрушению стереотипов мышления, позволяя вторгаться в поисковую ситуацию идеям, которые запрещены господствующей парадигмой, но которые могут вывести науку к новым решениям.
в) Озарение. Плодоносная инкубация завершается озарением. Оно понимается как замыкание проблемной ситуации, когда отыскивается недостающий элемент, который и замыкает цепь. Структурно это происходит как совмещение несовместимых (с точки зрения старой теории) утверждений, как соединение положений, запрещенных быть соединенными. Наступает отчетливость, сменяющая прежнее, казалось, безысходное состояние. Д. Пойа характеризует озарение как неожиданное «просветление, вносящее ясность, порядок, связь и целесообразность в детали, которые до этого казались смутными, разбросанными, неуловимыми». Он сравни^ вает озарение с тем, что ощущаешь, входя в темноте в незнакомый гостиничный номер, ищешь выключатель, наталкиваешься на какие-то предметы, острые углы... Но вот отыскиваешь, включаешь свет, и все становится на свои места. Острые углы – это, оказывается, стол, предметы, с которыми сталкивался, – стулья и т.д.
Озарение приходит внезапно, протекает в короткие промежутки времени и осуществляется в виде целостного восприятия (часто в образной форме).
Факт внезапности не означает, что никакой предшествующей тому работы мысли не было. Шла подготовка, шло вызревание решения проблемы. Но само-то решение приходит в тот момент, когда исследователь о том не думал, то есть не думал о проблеме соз-
нательно, казалось, не думал. Поэтому внешне озарение является внезапно, как счастливый случай, как бы совершенно неожиданно. Однако внутренне ученый уже подготовлен к открытию, овладел огромной информацией, осознал проблему. Недостает звена, замыкающего всю цепь раздумий. Здесь и решает случай. Попутно, чуть ли не боковым зрением замеченное, некая «случайная зацепка, – отмечает известный отечественный математик П.С. Александров, – приводит в движение весь большой ранее накопленный материал, вся эта «лента», которая сидит где-то в глубине подсознания, вдруг разворачивается, как спираль, и все полуосознанные прежде объекты приобретают полную отчетливость»1.
Таким образом, «вспышка», замыкающая круг размышлений, озаряет лишь подготовленного, выстрадавшего идею.
Вместе с тем сам факт, что именно нужное знание, завершающее поиски, оказывается «под рукой», всплывая в известный момент из глубин сознания, тоже не случаен. Что человек может вспомнить, зависит от его эрудиции, опыта. Напомним, что сфера бессознательного – не только акции мысли, но и, образно говоря, хранилища мозга, все те нейродинамические образования, которые в закодированной форме хранят когда-либо воспринятую индивидом информацию.
Свойство внезапности озарения живо подчеркивает бесконтрольность мысли на этом этапе поиска, ее интуитивную насыщенность. Поэтому становится понятным то, что решение проблемы приходило (как подтверждают многие математики и ученые других отраслей науки) во время отдыха, на прогулках, после концертов и т. п., то есть в условиях той же «раскрепощенности» мысли от деспотизма Я. Ф. Клейн рассказывает, что центральную теорему об автоморфных функциях он решил во время отдыха на берегу Северного моря, куда выехал по совету врачей. Л. Морделл вспоминает, как во время прогулки по Оксфордской улице в Лондоне ему пришла идея доказательства одной формулы, над которой он до этого бился. Потому, добавляет ученый, полезно отдохнуть, когда задача не решается.
По признанию П.С. Александрова, плодотворные идеи нередко появлялись у него при возвращении после хорошего концерта или даже в перерывах между отделениями, другой отечественный матема-
_________________
1 Александров П.С. Математическое открытие и его восприятие // Научное открытие и его восприятие. М.: Наука, 1971. С. 69.
тик, академик Ю. Митропольский, свидетельствует, что часто более или менее перспективные решения он находил во время отпусков.
На неосознанность творческих процессов еще более указывают случаи, когда решение давалось тут же после пробуждения или даже... во сне. Так пришла одна из важных идей теории относительности. А. Эйнштейн рассказывал сокурснику Якобу Эрату, как однажды утром, хорошо выспавшись, он сел в кровати и вдруг понял, что два события, которые для одного наблюдателя происходят одновременно, могут быть неодновременными для другого 1. Ф. Гаусс отмечал, что он привык после отдыха и полного покоя ожидать появления плодотворных идей. Нередко это случалось утром, вслед за пробуждением.
И конечно, наиболее сильное и почти невероятное свидетельство в пользу интуитивного, неосознаваемого протекания творческих процессов – открытия во сне. Об одном таком факте повествует, например, Пуанкаре2. И вообще, как отмечает А. Лук, у математиков – наивысший показатель решения задач во сне (до 17 %)3.
Итак, на стадии инкубации, в атмосфере раскрепощенности от господства сознательного, от власти логики осуществляется произвольное соединение идей, завершаемое озарением. Проводят аналогии с атомами Эпикура, который, вслед за Демокритом, наделял атомы горького крючками. Последние и обеспечивают сцепление атомов в самые разнообразные комбинации. Подобно тому происходит и сцепление понятий, отпущенных в «свободное плавание» в поле бессознательного.
г) Логическая подборка. Завершающий акт поисковых напряжений – проверка и доведение результата. Это часто называют логической подборкой.
Найденное решение поначалу всего лишь гипотеза, которую еще предстоит испытать на истинность. Здесь вновь (как и в самом начале поиска при постановке проблемы) полно включаются сознательные механизмы и властвует логика. Французский логик и философ конца XIX – начала XX в. Л. Кутюра в связи с этим писал: «Логика не ставит себе задачей вдохновлять творчество или же объяснять его: она довольствуется тем, что контролирует его и проверяет его...»4
_________________
1 См.: Зелиг К Альберт Эйнштейн. М: Атомиздат, 1966. С. 68.
2 См.: Пуанкаре А. Математическое творчество. С. 9-11.
3 Лук АН. Интуиция и научное творчество. М.: ИНИОН, 1981. С. 16.
4 Кутюра Л. В защиту логистики // Новые идеи в математике. Пг., 1915. №10. С. 63.
Но дело не только в том, чтобы проверить и привести полученное к завершенной форме изложения. Первооткрывателю и так ясно, и он убежден в правоте, но чтобы его признали, необходимо доказательство, которое осуществляется на основе логических правил вывода. Мы уже рассматривали процедуру математического доказательства (см. гл. X, § 1), отметим лишь, что речь идет именно о внутрима-тематическом процессе, цель которого в том, как говорит Ж. Адамар, чтобы «санкционировать и узаконить завоевания интуиции».
Охватывая все этапы творческого поиска, отметим, что если первый (постановка проблемы) и четвертый (проверка) осуществимы на основе логики, то второй (инкубация) и третий (озарение) характеризуются включением интуитивных механизмов. Но эти этапы выступают не как исключающие, а как дополняющие друг друга, помогая совместному решению проблемы. Более того, хотя этапы подразделяемы на логические и интуитивные, даже внутри каждого из них мера дополнительности также просматривается.
Так, постановка проблемы обязана не только сугубо логическому течению мысли, но и актам интуитивных озарений. Не случайно говорят, что правильно схваченная проблема – уже наполовину ее решение. Равно, как при проверке интуиция помогает в эффективном выборе метода этой процедуры, ибо нужна догадка, какой именно путь обоснования выбирать из возможных.
С другой стороны, логическое, сознательное начало имеет место и в интуитивных процессах. Скажем, ученый, сколь бы основательно он ни погружался в глубины бессознательного, все же работает именно над этой проблемой, а не так, что сегодня погрузился в одно, а завтра занят совсем другим. Те же открытия во сне яркое свидетельство в пользу бесконтрольности Я. Разве мы видим сны, в которых действия протекали бы не от имени моего Я? Его контроль налицо, как и во всех других актах бессознательного, ибо у человека в качестве разумного существа нет алиби в бытии, нет состояний, в которых бы наше Я полностью оказывалось исключенным.
Таким образом, лишь соединяясь, лишь вместе интуиция и логика способны вести исследования по пути открытий.