Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структуры, как связи компонентов содержания). Предполагается, что определенная мысль всегда выражена при помощи одних и тех же знаков, символов, расположенных одним и тем же способом.
Процедура формализации есть установление однозначного соответствия между последовательностью мысли и последовательностью знаков, ее фиксирующих (между логическими операциями в мышлении и манипуляциями с символами), так что, зная только значение каждого символа и их последовательность, мы можем восстановить и самое мысль. Благодаря формализации удается строго фиксировать содержание знаний, выразив его в устойчивой форме.
Формализация сопровождается введением символов (хотя и не сводится только к этому). Формализовать некоторую содержательную область – значит построить искусственный язык, в котором понятия замещены символами, а высказывания – сочетаниями символов (формулами). Создается исчисление, когда из одних знаковых сочетаний по фиксированным правилам можно получить другие.
Алгоритм формализации (мы рассмотрели его в связи с обоснованием математики в гл. VII, § 2) предполагает: задание списка ис-
ходных символов системы и правил их соединения в формулы (правила образования), указание исходных формул (аксиом), а также правил вывода из них остальных формул исчисления (правил преобразования).
Это наиболее последовательная формализация, формализация в узком смысле, которая приводит к исчислению. Притом оно может быть неинтерпретированным и интерпретированным. В последнем случае к правилам образования и преобразования добавляются еще правила интерпретации.
Говорят и о формализации в широком смысле, как символическом языке, но без четко очерченных ограничений в синтаксической структуре. Такому языку не чужды и дедуктивные формы, обслуживающие проведение доказательств и получение следствий. Например, языки физики и химии, использующие для обозначения специальных терминов также и особые знаки (скажем, символы химических элементов, физических констант, операций с ними). Но это скорее символизация, чем формализация.
Образцы формализованных систем, как исчислений, являют логика и математика. Однако общие условия и особенности процесса формализации описывает логика средствами логического синтаксиса и логической семантики (составляющими аппарат металогики).
Выделяя синтаксическую и семантическую стороны исчисления, учитывают в первом лишь отношение знака к знаку, в силу чего формально-логическая система рассматривается как множество формул, взаимосвязанных правилами дедукции или конструкции. Алфавит (список символов) вместе с логическими операциями связи символов образуют морфологию системы. Семантически же выясняется отношение исчисления к содержательным предметным областям как его моделям (интерпретациям). Логическая семантика определяет содержание, могущее быть выраженным исчислением, значение записанных формализованным языком выражений, их истинность (соответствие формул ситуациям во внеязыковой реальности). Система, знаки и формулы которой, будучи поняты как отображения некоторой содержательной области, обретают смысл, называется семантической (интерпретированной) Семантика и занимается общими проблемами отношения исчисления к его интерпретациям.
Но нас интересует роль методов формализации в познании, в частности математическом.
Поскольку формализация сопровождается введением символов, это несет наряду с достижением точности, однозначности мысли
более экономную запись выражений, которые становятся легко обозримыми, а операции с ними – удобными. Экономность математического мышления, замечает профессор Франц Танк, позволяет свести законы в уравнения из нескольких строчек и выразить целый мир в «ореховой скорлупе».
Разумеется, дело не просто в минимизации выражений. Создаются совершенно иные условия для работы. Благодаря связанной с формализацией однозначности в понимании знаков введение символов не оставляет места неопределенности при истолковании значений, присущей естественному языку.
Минимальность и точность знаковых обозначений позволяет реализовать творческие потенции ученого, не могущие полностью раскрыться на уровне словесного оформления мысли и манипуляций понятиями.
Насколько это существенно, говорит пример Б. Паскаля. Отказ от буквенной символики помешал ему, как считают исследователи, создать дифференциальное и интегральное исчисления, хотя он подошел к этому очень близко. Полагают, что его «Трактат о рулетте» является чудом проницательности, связующим звеном между методом исчерпывания Архимеда и дифференциальным исчислением Ньютона. Но Паскаль избегал производить алгебраические операции. Все содержание он выражал словами (как и Архимед). Эта антиалгебраическая установка и отрицание буквенных обозначений и сузили творческие возможности гения Паскаля1.
Переход на язык алгебры не просто несет краткость в записи мысли. Ее язык выводит к новым математическим структурам, поскольку, по определению, алгебра фиксирует отношения, однозначно определяющие 3-й элемент по двум другим. Например, сложение, умножение. Алгебра нивелирует числовые значения (которые конкретны), заменяя их переменными. Это делает хорошо видимыми отношения, которые скрыты, не просматриваются четко при числовом выражении. Скажем, формулы: разность квадратов (a2-b2) и квадрат разности (a-b)2. Но попробуйте столь же зримо увидеть эти отношения в их числовом выражении: (32 – 22 ) и (3-2)2 .
Развитие алгебраической символики стимулировало появление новых разделов математики, таких как формирование математического анализа. Запись многих основных понятий анализа – пере-
_________________
1 См.: Кляус Е.М. Блез Паскаль // У истоков классической науки. М., 1968. С. 316.
менная величина, функция и др. – невозможны без буквенной символики, и в анализе, в частности в дифференциальном и интегральном исчислениях, целиком прибегают к буквенному языку алгебры.
Объектом логической формализации является непосредственно язык науки. Он, представляя материализованное в знаках мышление, обладает известной самостоятельностью (чем и обусловлена возможность его формализации). Однако язык, закрепляя мысль, тем самым несет знания и о реальности, о практических связях, в которые вступает объект познания. Тем самым язык впитывает в себя особенности содержания как мысли, так и предметов мысли. Следовательно, выявляя в процессах формализации структуру мысли, нам удается обнаружить информацию о самом реальном мире.
Боле того, благодаря формализации, оказывается выявленной такая информация, которая не улавливается на уровне содержательного анализа. Ибо там, где выражения естественного языка фиксируют многообразие, различия, формализм находит общие закономерности, выявляет сходства. Формализация не прибавляет к сумме знаний новых сведений, а лишь представляет наличную информацию способом, когда она видна отчетливо.
Это обусловлено именно тем, что форма не нечто внешнее по отношению к содержанию. Как подчеркивал И. Кант, содержание есть со-держание, то есть «совместное держание» (совместное с формой). Форма не проявление голой чувственности бытия вещей, а то, что придает миру осмысленность, то есть содействует выделению в бесконечном необозримом бытии, при первичном его восприятии кажущемся бессмысленным переплетением связей вещей, – выделению, схватыванию смыслов. Благодаря этому содержание и переходит в форму, а форма предъявляет содержание в одной из его возможностей.